Решить 4x^2=8left(80-xright)^2

$$4 { x }^{ 2 } =8 { \left(80-x \right) }^{ 2 }$$

Найдите x

$$x=80\sqrt{2}+160\approx 273,13708499$$

$$x=160-80\sqrt{2}\approx 46,86291501$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(80-x\right)^{2}.

$$4x^{2}=8\left(6400-160x+x^{2}\right)$$

Чтобы умножить 8 на 6400-160x+x^{2}, используйте свойство дистрибутивности.

$$4x^{2}=51200-1280x+8x^{2}$$

Вычтите 51200 из обеих частей уравнения.

$$4x^{2}-51200=-1280x+8x^{2}$$

Прибавьте 1280x к обеим частям.

$$4x^{2}-51200+1280x=8x^{2}$$

Вычтите 8x^{2} из обеих частей уравнения.

$$4x^{2}-51200+1280x-8x^{2}=0$$

Объедините 4x^{2} и -8x^{2}, чтобы получить -4x^{2}.

$$-4x^{2}-51200+1280x=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-4x^{2}+1280x-51200=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -4 вместо a, 1280 вместо b и -51200 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1280±\sqrt{1280^{2}-4\left(-4\right)\left(-51200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Возведите 1280 в квадрат.

$$x=\frac{-1280±\sqrt{1638400-4\left(-4\right)\left(-51200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Умножьте -4 на -4.

$$x=\frac{-1280±\sqrt{1638400+16\left(-51200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Умножьте 16 на -51200.

$$x=\frac{-1280±\sqrt{1638400-819200}}{2\left(-4\right)}$$

Прибавьте 1638400 к -819200.

$$x=\frac{-1280±\sqrt{819200}}{2\left(-4\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 819200.

$$x=\frac{-1280±640\sqrt{2}}{2\left(-4\right)}$$

Умножьте 2 на -4.

$$x=\frac{-1280±640\sqrt{2}}{-8}$$

Решите уравнение x=\frac{-1280±640\sqrt{2}}{-8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -1280 к 640\sqrt{2}.

$$x=\frac{640\sqrt{2}-1280}{-8}$$

Разделите -1280+640\sqrt{2} на -8.

$$x=160-80\sqrt{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-1280±640\sqrt{2}}{-8} при условии, что ± — минус. Вычтите 640\sqrt{2} из -1280.

$$x=\frac{-640\sqrt{2}-1280}{-8}$$

Разделите -1280-640\sqrt{2} на -8.

$$x=80\sqrt{2}+160$$

Уравнение решено.

$$x=160-80\sqrt{2} x=80\sqrt{2}+160$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(80-x\right)^{2}.

$$4x^{2}=8\left(6400-160x+x^{2}\right)$$

Чтобы умножить 8 на 6400-160x+x^{2}, используйте свойство дистрибутивности.

$$4x^{2}=51200-1280x+8x^{2}$$

Прибавьте 1280x к обеим частям.

$$4x^{2}+1280x=51200+8x^{2}$$

Вычтите 8x^{2} из обеих частей уравнения.

$$4x^{2}+1280x-8x^{2}=51200$$

Объедините 4x^{2} и -8x^{2}, чтобы получить -4x^{2}.

$$-4x^{2}+1280x=51200$$

Разделите обе части на -4.

$$\frac{-4x^{2}+1280x}{-4}=\frac{51200}{-4}$$

Деление на -4 аннулирует операцию умножения на -4.

$$x^{2}+\frac{1280}{-4}x=\frac{51200}{-4}$$

Разделите 1280 на -4.

$$x^{2}-320x=\frac{51200}{-4}$$

Разделите 51200 на -4.

$$x^{2}-320x=-12800$$

Деление -320, коэффициент x термина, 2 для получения -160. Затем добавьте квадрат -160 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-320x+\left(-160\right)^{2}=-12800+\left(-160\right)^{2}$$

Возведите -160 в квадрат.

$$x^{2}-320x+25600=-12800+25600$$

Прибавьте -12800 к 25600.

$$x^{2}-320x+25600=12800$$

Коэффициент x^{2}-320x+25600. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-160\right)^{2}=12800$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-160\right)^{2}}=\sqrt{12800}$$

Упростите.

$$x-160=80\sqrt{2} x-160=-80\sqrt{2}$$

Прибавьте 160 к обеим частям уравнения.

$$x=80\sqrt{2}+160 x=160-80\sqrt{2}$$