Решить 4x^2+5x+1=0

$$4 { x }^{ 2 } +5x+1=0$$

Найдите x

$$x=-\frac{1}{4}=-0,25$$

$$x=-1$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 4x^{2}+ax+bx+1. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=5 ab=4\times 1=4$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 4.

$$1,4 2,2$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+4=5 2+2=4$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 5.

$$a=1 b=4$$

Перепишите 4x^{2}+5x+1 как \left(4x^{2}+x\right)+\left(4x+1\right).

$$\left(4x^{2}+x\right)+\left(4x+1\right)$$

Вынесите за скобки x в 4x^{2}+x.

$$x\left(4x+1\right)+4x+1$$

Вынесите за скобки общий член 4x+1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(4x+1\right)\left(x+1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 4x+1=0 и x+1=0у.

$$x=-\frac{1}{4} x=-1$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4x^{2}+5x+1=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, 5 вместо b и 1 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Возведите 5 в квадрат.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 4}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-16}}{2\times 4}$$

Прибавьте 25 к -16.

$$x=\frac{-5±\sqrt{9}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из 9.

$$x=\frac{-5±3}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$x=\frac{-5±3}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{-5±3}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -5 к 3.

$$x=-\frac{2}{8}$$

Привести дробь \frac{-2}{8} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-5±3}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите 3 из -5.

$$x=-\frac{8}{8}$$

Разделите -8 на 8.

$$x=-1$$

Уравнение решено.

$$x=-\frac{1}{4} x=-1$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+5x+1=0$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$4x^{2}+5x+1-1=-1$$

Если из 1 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4x^{2}+5x=-1$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4x^{2}+5x}{4}=-\frac{1}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x=-\frac{1}{4}$$

Деление \frac{5}{4}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{5}{8}. Затем добавьте квадрат \frac{5}{8} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Возведите \frac{5}{8} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

Прибавьте -\frac{1}{4} к \frac{25}{64}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{9}{64}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

Упростите.

$$x+\frac{5}{8}=\frac{3}{8} x+\frac{5}{8}=-\frac{3}{8}$$

Вычтите \frac{5}{8} из обеих частей уравнения.

$$x=-\frac{1}{4} x=-1$$