Решить 4x^2+4x=120

$$4 { x }^{ 2 } +4x=120$$

Найдите x

$$x=-6$$

$$x=5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Вычтите 120 из обеих частей уравнения.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

Разделите обе части на 4.

$$x^{2}+x-30=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-30. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=1 ab=1\left(-30\right)=-30$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары, содержащие -30 продукта.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 1.

$$a=-5 b=6$$

Перепишите x^{2}+x-30 как \left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right)$$

Вынесите за скобки x в первой и 6 во второй группе.

$$x\left(x-5\right)+6\left(x-5\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-5, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-5\right)\left(x+6\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-5=0 и x+6=0.

$$x=5 x=-6$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4x^{2}+4x=120$$

Вычтите 120 из обеих частей уравнения.

$$4x^{2}+4x-120=120-120$$

Если из 120 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, 4 вместо b и -120 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Возведите 4 в квадрат.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -16 на -120.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+1920}}{2\times 4}$$

Прибавьте 16 к 1920.

$$x=\frac{-4±\sqrt{1936}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из 1936.

$$x=\frac{-4±44}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$x=\frac{-4±44}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{-4±44}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -4 к 44.

$$x=\frac{40}{8}$$

Разделите 40 на 8.

$$x=5$$

Решите уравнение x=\frac{-4±44}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите 44 из -4.

$$x=-\frac{48}{8}$$

Разделите -48 на 8.

$$x=-6$$

Уравнение решено.

$$x=5 x=-6$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x=120$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{120}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{120}{4}$$

Разделите 4 на 4.

$$x^{2}+x=\frac{120}{4}$$

Разделите 120 на 4.

$$x^{2}+x=30$$

Разделите 1, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится \frac{1}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{1}{2} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=30+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{1}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=30+\frac{1}{4}$$

Прибавьте 30 к \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{121}{4}$$

Разложите x^{2}+x+\frac{1}{4} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Упростите.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{11}{2}$$

Вычтите \frac{1}{2} из обеих частей уравнения.

$$x=5 x=-6$$