Решить 4x^2+21x-49=0

$$4 { x }^{ 2 } +21x-49=0$$

Найдите x

$$x=-7$$

$$x = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4} = 1,75$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 4x^{2}+ax+bx-49. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=21 ab=4\left(-49\right)=-196$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -196.

$$-1,196 -2,98 -4,49 -7,28 -14,14$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+196=195 -2+98=96 -4+49=45 -7+28=21 -14+14=0$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 21.

$$a=-7 b=28$$

Перепишите 4x^{2}+21x-49 как \left(4x^{2}-7x\right)+\left(28x-49\right).

$$\left(4x^{2}-7x\right)+\left(28x-49\right)$$

Разложите x в первом и 7 в второй группе.

$$x\left(4x-7\right)+7\left(4x-7\right)$$

Вынесите за скобки общий член 4x-7, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(4x-7\right)\left(x+7\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 4x-7=0 и x+7=0у.

$$x=\frac{7}{4} x=-7$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4x^{2}+21x-49=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, 21 вместо b и -49 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\times 4\left(-49\right)}}{2\times 4}$$

Возведите 21 в квадрат.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-4\times 4\left(-49\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-16\left(-49\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -16 на -49.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441+784}}{2\times 4}$$

Прибавьте 441 к 784.

$$x=\frac{-21±\sqrt{1225}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из 1225.

$$x=\frac{-21±35}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$x=\frac{-21±35}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{-21±35}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -21 к 35.

$$x=\frac{14}{8}$$

Привести дробь \frac{14}{8} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=\frac{7}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-21±35}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите 35 из -21.

$$x=-\frac{56}{8}$$

Разделите -56 на 8.

$$x=-7$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{7}{4} x=-7$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+21x-49=0$$

Прибавьте 49 к обеим частям уравнения.

$$4x^{2}+21x-49-\left(-49\right)=-\left(-49\right)$$

Если из -49 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4x^{2}+21x=-\left(-49\right)$$

Вычтите -49 из 0.

$$4x^{2}+21x=49$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4x^{2}+21x}{4}=\frac{49}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$x^{2}+\frac{21}{4}x=\frac{49}{4}$$

Деление \frac{21}{4}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{21}{8}. Затем добавьте квадрат \frac{21}{8} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{21}{4}x+\left(\frac{21}{8}\right)^{2}=\frac{49}{4}+\left(\frac{21}{8}\right)^{2}$$

Возведите \frac{21}{8} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{21}{4}x+\frac{441}{64}=\frac{49}{4}+\frac{441}{64}$$

Прибавьте \frac{49}{4} к \frac{441}{64}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{21}{4}x+\frac{441}{64}=\frac{1225}{64}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{21}{4}x+\frac{441}{64}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{21}{8}\right)^{2}=\frac{1225}{64}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{21}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1225}{64}}$$

Упростите.

$$x+\frac{21}{8}=\frac{35}{8} x+\frac{21}{8}=-\frac{35}{8}$$

Вычтите \frac{21}{8} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{7}{4} x=-7$$