Решить 4x^2+13x+5=0

$$4 { x }^{ 2 } +13x+5=0$$

Найдите x

$$x=\frac{\sqrt{89}-13}{8}\approx -0,445752358$$

$$x=\frac{-\sqrt{89}-13}{8}\approx -2,804247642$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4x^{2}+13x+5=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, 13 вместо b и 5 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

Возведите 13 в квадрат.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-16\times 5}}{2\times 4}$$

Умножьте -16 на 5.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-80}}{2\times 4}$$

Прибавьте 169 к -80.

$$x=\frac{-13±\sqrt{89}}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$x=\frac{-13±\sqrt{89}}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{-13±\sqrt{89}}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -13 к \sqrt{89}.

$$x=\frac{\sqrt{89}-13}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{-13±\sqrt{89}}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{89} из -13.

$$x=\frac{-\sqrt{89}-13}{8}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{89}-13}{8} x=\frac{-\sqrt{89}-13}{8}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+13x+5=0$$

Вычтите 5 из обеих частей уравнения.

$$4x^{2}+13x+5-5=-5$$

Если из 5 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4x^{2}+13x=-5$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4x^{2}+13x}{4}=-\frac{5}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$x^{2}+\frac{13}{4}x=-\frac{5}{4}$$

Деление \frac{13}{4}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{13}{8}. Затем добавьте квадрат \frac{13}{8} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{13}{4}x+\left(\frac{13}{8}\right)^{2}=-\frac{5}{4}+\left(\frac{13}{8}\right)^{2}$$

Возведите \frac{13}{8} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{13}{4}x+\frac{169}{64}=-\frac{5}{4}+\frac{169}{64}$$

Прибавьте -\frac{5}{4} к \frac{169}{64}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{13}{4}x+\frac{169}{64}=\frac{89}{64}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{13}{4}x+\frac{169}{64}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{13}{8}\right)^{2}=\frac{89}{64}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{89}{64}}$$

Упростите.

$$x+\frac{13}{8}=\frac{\sqrt{89}}{8} x+\frac{13}{8}=-\frac{\sqrt{89}}{8}$$

Вычтите \frac{13}{8} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{89}-13}{8} x=\frac{-\sqrt{89}-13}{8}$$