Решить 4t^2+3t=1

$$4 { t }^{ 2 } +3t = 1$$

Найдите t

$$t=-1$$

$$t=\frac{1}{4}=0,25$$

Способ разложения на множители путем группировки

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$4t^{2}+3t-1=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 4t^{2}+at+bt-1. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=3 ab=4\left(-1\right)=-4$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары, содержащие -4 продукта.

$$-1,4 -2,2$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+4=3 -2+2=0$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 3.

$$a=-1 b=4$$

Перепишите 4t^{2}+3t-1 как \left(4t^{2}-t\right)+\left(4t-1\right).

$$\left(4t^{2}-t\right)+\left(4t-1\right)$$

Вынесите за скобки t в 4t^{2}-t.

$$t\left(4t-1\right)+4t-1$$

Вынесите за скобки общий член 4t-1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(4t-1\right)\left(t+1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 4t-1=0 и t+1=0.

$$t=\frac{1}{4} t=-1$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4t^{2}+3t=1$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$4t^{2}+3t-1=1-1$$

Если из 1 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4t^{2}+3t-1=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, 3 вместо b и -1 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Возведите 3 в квадрат.

$$t=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$t=\frac{-3±\sqrt{9-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -16 на -1.

$$t=\frac{-3±\sqrt{9+16}}{2\times 4}$$

Прибавьте 9 к 16.

$$t=\frac{-3±\sqrt{25}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из 25.

$$t=\frac{-3±5}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$t=\frac{-3±5}{8}$$

Решите уравнение t=\frac{-3±5}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -3 к 5.

$$t=\frac{2}{8}$$

Привести дробь \frac{2}{8} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$t=\frac{1}{4}$$

Решите уравнение t=\frac{-3±5}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите 5 из -3.

$$t=-\frac{8}{8}$$

Разделите -8 на 8.

$$t=-1$$

Уравнение решено.

$$t=\frac{1}{4} t=-1$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4t^{2}+3t=1$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4t^{2}+3t}{4}=\frac{1}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t=\frac{1}{4}$$

Разделите \frac{3}{4}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится \frac{3}{8}. Затем добавьте квадрат \frac{3}{8} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Возведите \frac{3}{8} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t+\frac{9}{64}=\frac{1}{4}+\frac{9}{64}$$

Прибавьте \frac{1}{4} к \frac{9}{64}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t+\frac{9}{64}=\frac{25}{64}$$

Разложите t^{2}+\frac{3}{4}t+\frac{9}{64} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{25}{64}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(t+\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{64}}$$

Упростите.

$$t+\frac{3}{8}=\frac{5}{8} t+\frac{3}{8}=-\frac{5}{8}$$

Вычтите \frac{3}{8} из обеих частей уравнения.

$$t=\frac{1}{4} t=-1$$