Решить 4left(2x-13right)^2-9(2x-13)+2=0

$$4 { \left(2x-13 \right) }^{ 2 } -9(2x-13)+2=0$$

Найдите x

$$x = \frac{53}{8} = 6\frac{5}{8} = 6,625$$

$$x = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2} = 7,5$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(2x-13\right)^{2}.

$$4\left(4x^{2}-52x+169\right)-9\left(2x-13\right)+2=0$$

Чтобы умножить 4 на 4x^{2}-52x+169, используйте свойство дистрибутивности.

$$16x^{2}-208x+676-9\left(2x-13\right)+2=0$$

Чтобы умножить -9 на 2x-13, используйте свойство дистрибутивности.

$$16x^{2}-208x+676-18x+117+2=0$$

Объедините -208x и -18x, чтобы получить -226x.

$$16x^{2}-226x+676+117+2=0$$

Чтобы вычислить 793, сложите 676 и 117.

$$16x^{2}-226x+793+2=0$$

Чтобы вычислить 795, сложите 793 и 2.

$$16x^{2}-226x+795=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 16 вместо a, -226 вместо b и 795 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-226\right)±\sqrt{\left(-226\right)^{2}-4\times 16\times 795}}{2\times 16}$$

Возведите -226 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-226\right)±\sqrt{51076-4\times 16\times 795}}{2\times 16}$$

Умножьте -4 на 16.

$$x=\frac{-\left(-226\right)±\sqrt{51076-64\times 795}}{2\times 16}$$

Умножьте -64 на 795.

$$x=\frac{-\left(-226\right)±\sqrt{51076-50880}}{2\times 16}$$

Прибавьте 51076 к -50880.

$$x=\frac{-\left(-226\right)±\sqrt{196}}{2\times 16}$$

Извлеките квадратный корень из 196.

$$x=\frac{-\left(-226\right)±14}{2\times 16}$$

Число, противоположное -226, равно 226.

$$x=\frac{226±14}{2\times 16}$$

Умножьте 2 на 16.

$$x=\frac{226±14}{32}$$

Решите уравнение x=\frac{226±14}{32} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 226 к 14.

$$x=\frac{240}{32}$$

Привести дробь \frac{240}{32} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 16.

$$x=\frac{15}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{226±14}{32} при условии, что ± — минус. Вычтите 14 из 226.

$$x=\frac{212}{32}$$

Привести дробь \frac{212}{32} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x=\frac{53}{8}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{15}{2} x=\frac{53}{8}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(2x-13\right)^{2}.

$$4\left(4x^{2}-52x+169\right)-9\left(2x-13\right)+2=0$$

Чтобы умножить 4 на 4x^{2}-52x+169, используйте свойство дистрибутивности.

$$16x^{2}-208x+676-9\left(2x-13\right)+2=0$$

Чтобы умножить -9 на 2x-13, используйте свойство дистрибутивности.

$$16x^{2}-208x+676-18x+117+2=0$$

Объедините -208x и -18x, чтобы получить -226x.

$$16x^{2}-226x+676+117+2=0$$

Чтобы вычислить 793, сложите 676 и 117.

$$16x^{2}-226x+793+2=0$$

Чтобы вычислить 795, сложите 793 и 2.

$$16x^{2}-226x+795=0$$

Вычтите 795 из обеих частей уравнения. Если вычесть любое число из нуля, то получится его отрицательный эквивалент.

$$16x^{2}-226x=-795$$

Разделите обе части на 16.

$$\frac{16x^{2}-226x}{16}=-\frac{795}{16}$$

Деление на 16 аннулирует операцию умножения на 16.

$$x^{2}+\left(-\frac{226}{16}\right)x=-\frac{795}{16}$$

Привести дробь \frac{-226}{16} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x^{2}-\frac{113}{8}x=-\frac{795}{16}$$

Разделите -\frac{113}{8}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -\frac{113}{16}. Затем добавьте квадрат -\frac{113}{16} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}-\frac{113}{8}x+\left(-\frac{113}{16}\right)^{2}=-\frac{795}{16}+\left(-\frac{113}{16}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{113}{16} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{113}{8}x+\frac{12769}{256}=-\frac{795}{16}+\frac{12769}{256}$$

Прибавьте -\frac{795}{16} к \frac{12769}{256}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{113}{8}x+\frac{12769}{256}=\frac{49}{256}$$

Разложите x^{2}-\frac{113}{8}x+\frac{12769}{256} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{113}{16}\right)^{2}=\frac{49}{256}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{113}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{256}}$$

Упростите.

$$x-\frac{113}{16}=\frac{7}{16} x-\frac{113}{16}=-\frac{7}{16}$$

Прибавьте \frac{113}{16} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{15}{2} x=\frac{53}{8}$$