Решить 3x=sqrt{x^2+6}-4

$$3x = \sqrt{ { x }^{ 2 } +6 } -4$$

Найдите x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Действия по решению

Вычтите -4 из обеих частей уравнения.

$$3x+4=\sqrt{x^{2}+6}$$

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(3x+4\right)^{2}=\left(\sqrt{x^{2}+6}\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(3x+4\right)^{2}.

$$9x^{2}+24x+16=\left(\sqrt{x^{2}+6}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{x^{2}+6} в степени 2 и получите x^{2}+6.

$$9x^{2}+24x+16=x^{2}+6$$

Вычтите x^{2} из обеих частей уравнения.

$$9x^{2}+24x+16-x^{2}=6$$

Объедините 9x^{2} и -x^{2}, чтобы получить 8x^{2}.

$$8x^{2}+24x+16=6$$

Вычтите 6 из обеих частей уравнения.

$$8x^{2}+24x+16-6=0$$

Вычтите 6 из 16, чтобы получить 10.

$$8x^{2}+24x+10=0$$

Разделите обе части на 2.

$$4x^{2}+12x+5=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 4x^{2}+ax+bx+5. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=12 ab=4\times 5=20$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 20.

$$1,20 2,10 4,5$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+20=21 2+10=12 4+5=9$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 12.

$$a=2 b=10$$

Перепишите 4x^{2}+12x+5 как \left(4x^{2}+2x\right)+\left(10x+5\right).

$$\left(4x^{2}+2x\right)+\left(10x+5\right)$$

Разложите 2x в первом и 5 в второй группе.

$$2x\left(2x+1\right)+5\left(2x+1\right)$$

Вынесите за скобки общий член 2x+1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(2x+1\right)\left(2x+5\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 2x+1=0 и 2x+5=0у.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{5}{2}$$

Подставьте -\frac{1}{2} вместо x в уравнении 3x=\sqrt{x^{2}+6}-4.

$$3\left(-\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}+6}-4$$

Упростите. Значение x=-\frac{1}{2} удовлетворяет уравнению.

$$-\frac{3}{2}=-\frac{3}{2}$$

Подставьте -\frac{5}{2} вместо x в уравнении 3x=\sqrt{x^{2}+6}-4.

$$3\left(-\frac{5}{2}\right)=\sqrt{\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}+6}-4$$

Упростите. Значение x=-\frac{5}{2} не соответствует уравнению.

$$-\frac{15}{2}=-\frac{1}{2}$$

Уравнение 3x+4=\sqrt{x^{2}+6} имеет уникальное решение.

$$x=-\frac{1}{2}$$