Решить 39x^2+14x-9=0

$$39 { x }^{ 2 } +14x-9=0$$

Найдите x

$$x=-\frac{9}{13}\approx -0,692307692$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 39x^{2}+ax+bx-9. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=14 ab=39\left(-9\right)=-351$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -351.

$$-1,351 -3,117 -9,39 -13,27$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+351=350 -3+117=114 -9+39=30 -13+27=14$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 14.

$$a=-13 b=27$$

Перепишите 39x^{2}+14x-9 как \left(39x^{2}-13x\right)+\left(27x-9\right).

$$\left(39x^{2}-13x\right)+\left(27x-9\right)$$

Разложите 13x в первом и 9 в второй группе.

$$13x\left(3x-1\right)+9\left(3x-1\right)$$

Вынесите за скобки общий член 3x-1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(3x-1\right)\left(13x+9\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 3x-1=0 и 13x+9=0у.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{9}{13}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$39x^{2}+14x-9=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 39 вместо a, 14 вместо b и -9 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 39\left(-9\right)}}{2\times 39}$$

Возведите 14 в квадрат.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 39\left(-9\right)}}{2\times 39}$$

Умножьте -4 на 39.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-156\left(-9\right)}}{2\times 39}$$

Умножьте -156 на -9.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+1404}}{2\times 39}$$

Прибавьте 196 к 1404.

$$x=\frac{-14±\sqrt{1600}}{2\times 39}$$

Извлеките квадратный корень из 1600.

$$x=\frac{-14±40}{2\times 39}$$

Умножьте 2 на 39.

$$x=\frac{-14±40}{78}$$

Решите уравнение x=\frac{-14±40}{78} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -14 к 40.

$$x=\frac{26}{78}$$

Привести дробь \frac{26}{78} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 26.

$$x=\frac{1}{3}$$

Решите уравнение x=\frac{-14±40}{78} при условии, что ± — минус. Вычтите 40 из -14.

$$x=-\frac{54}{78}$$

Привести дробь \frac{-54}{78} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 6.

$$x=-\frac{9}{13}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{9}{13}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$39x^{2}+14x-9=0$$

Прибавьте 9 к обеим частям уравнения.

$$39x^{2}+14x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Если из -9 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$39x^{2}+14x=-\left(-9\right)$$

Вычтите -9 из 0.

$$39x^{2}+14x=9$$

Разделите обе части на 39.

$$\frac{39x^{2}+14x}{39}=\frac{9}{39}$$

Деление на 39 аннулирует операцию умножения на 39.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x=\frac{9}{39}$$

Привести дробь \frac{9}{39} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 3.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x=\frac{3}{13}$$

Деление \frac{14}{39}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{7}{39}. Затем добавьте квадрат \frac{7}{39} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x+\left(\frac{7}{39}\right)^{2}=\frac{3}{13}+\left(\frac{7}{39}\right)^{2}$$

Возведите \frac{7}{39} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x+\frac{49}{1521}=\frac{3}{13}+\frac{49}{1521}$$

Прибавьте \frac{3}{13} к \frac{49}{1521}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{14}{39}x+\frac{49}{1521}=\frac{400}{1521}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{14}{39}x+\frac{49}{1521}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{39}\right)^{2}=\frac{400}{1521}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{39}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{400}{1521}}$$

Упростите.

$$x+\frac{7}{39}=\frac{20}{39} x+\frac{7}{39}=-\frac{20}{39}$$

Вычтите \frac{7}{39} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{9}{13}$$