Решить 32x^2+250x-1925=0

$$32 { x }^{ 2 } +250x-1925=0$$

Найдите x

$$x = \frac{5 \sqrt{3089} - 125}{32} \approx 4,77793327$$

$$x=\frac{-5\sqrt{3089}-125}{32}\approx -12,59043327$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$32x^{2}+250x-1925=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 32 вместо a, 250 вместо b и -1925 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-250±\sqrt{250^{2}-4\times 32\left(-1925\right)}}{2\times 32}$$

Возведите 250 в квадрат.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-4\times 32\left(-1925\right)}}{2\times 32}$$

Умножьте -4 на 32.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-128\left(-1925\right)}}{2\times 32}$$

Умножьте -128 на -1925.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500+246400}}{2\times 32}$$

Прибавьте 62500 к 246400.

$$x=\frac{-250±\sqrt{308900}}{2\times 32}$$

Извлеките квадратный корень из 308900.

$$x=\frac{-250±10\sqrt{3089}}{2\times 32}$$

Умножьте 2 на 32.

$$x=\frac{-250±10\sqrt{3089}}{64}$$

Решите уравнение x=\frac{-250±10\sqrt{3089}}{64} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -250 к 10\sqrt{3089}.

$$x=\frac{10\sqrt{3089}-250}{64}$$

Разделите -250+10\sqrt{3089} на 64.

$$x=\frac{5\sqrt{3089}-125}{32}$$

Решите уравнение x=\frac{-250±10\sqrt{3089}}{64} при условии, что ± — минус. Вычтите 10\sqrt{3089} из -250.

$$x=\frac{-10\sqrt{3089}-250}{64}$$

Разделите -250-10\sqrt{3089} на 64.

$$x=\frac{-5\sqrt{3089}-125}{32}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{5\sqrt{3089}-125}{32} x=\frac{-5\sqrt{3089}-125}{32}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$32x^{2}+250x-1925=0$$

Прибавьте 1925 к обеим частям уравнения.

$$32x^{2}+250x-1925-\left(-1925\right)=-\left(-1925\right)$$

Если из -1925 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$32x^{2}+250x=-\left(-1925\right)$$

Вычтите -1925 из 0.

$$32x^{2}+250x=1925$$

Разделите обе части на 32.

$$\frac{32x^{2}+250x}{32}=\frac{1925}{32}$$

Деление на 32 аннулирует операцию умножения на 32.

$$x^{2}+\frac{250}{32}x=\frac{1925}{32}$$

Привести дробь \frac{250}{32} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x^{2}+\frac{125}{16}x=\frac{1925}{32}$$

Деление \frac{125}{16}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{125}{32}. Затем добавьте квадрат \frac{125}{32} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{125}{16}x+\left(\frac{125}{32}\right)^{2}=\frac{1925}{32}+\left(\frac{125}{32}\right)^{2}$$

Возведите \frac{125}{32} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{125}{16}x+\frac{15625}{1024}=\frac{1925}{32}+\frac{15625}{1024}$$

Прибавьте \frac{1925}{32} к \frac{15625}{1024}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{125}{16}x+\frac{15625}{1024}=\frac{77225}{1024}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{125}{16}x+\frac{15625}{1024}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{125}{32}\right)^{2}=\frac{77225}{1024}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{125}{32}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{77225}{1024}}$$

Упростите.

$$x+\frac{125}{32}=\frac{5\sqrt{3089}}{32} x+\frac{125}{32}=-\frac{5\sqrt{3089}}{32}$$

Вычтите \frac{125}{32} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{5\sqrt{3089}-125}{32} x=\frac{-5\sqrt{3089}-125}{32}$$