Решить 31x^2-3x+1=0

$$31 x ^ { 2 } - 3 x + 1 = 0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62}\approx 0,048387097+0,172964602i$$

$$x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}\approx 0,048387097-0,172964602i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$31x^{2}-3x+1=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 31 вместо a, -3 вместо b и 1 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 31}}{2\times 31}$$

Возведите -3 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 31}}{2\times 31}$$

Умножьте -4 на 31.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-124}}{2\times 31}$$

Прибавьте 9 к -124.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{-115}}{2\times 31}$$

Извлеките квадратный корень из -115.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{115}i}{2\times 31}$$

Число, противоположное -3, равно 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{115}i}{2\times 31}$$

Умножьте 2 на 31.

$$x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62}$$

Решите уравнение x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 3 к i\sqrt{115}.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62}$$

Решите уравнение x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62} при условии, что ± — минус. Вычтите i\sqrt{115} из 3.

$$x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62} x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$31x^{2}-3x+1=0$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$31x^{2}-3x+1-1=-1$$

Если из 1 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$31x^{2}-3x=-1$$

Разделите обе части на 31.

$$\frac{31x^{2}-3x}{31}=-\frac{1}{31}$$

Деление на 31 аннулирует операцию умножения на 31.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x=-\frac{1}{31}$$

Деление -\frac{3}{31}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{3}{62}. Затем добавьте квадрат -\frac{3}{62} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\left(-\frac{3}{62}\right)^{2}=-\frac{1}{31}+\left(-\frac{3}{62}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{3}{62} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}=-\frac{1}{31}+\frac{9}{3844}$$

Прибавьте -\frac{1}{31} к \frac{9}{3844}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}=-\frac{115}{3844}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{62}\right)^{2}=-\frac{115}{3844}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{62}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{115}{3844}}$$

Упростите.

$$x-\frac{3}{62}=\frac{\sqrt{115}i}{62} x-\frac{3}{62}=-\frac{\sqrt{115}i}{62}$$

Прибавьте \frac{3}{62} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62} x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$