Решить 30x+21x^2=3384

$$30 x + 21 x ^ { 2 } = 3384$$

Найдите x

$$x = -\frac{94}{7} = -13\frac{3}{7} \approx -13,428571429$$

$$x=12$$

Способ разложения на множители путем группировки

Вычтите 3384 из обеих частей уравнения.

$$30x+21x^{2}-3384=0$$

Разделите обе части на 3.

$$10x+7x^{2}-1128=0$$

Приведите многочлен к стандартному виду. Разместите члены, начиная с члена с наибольшей степенью и заканчивая членом с наименьшей степенью.

$$7x^{2}+10x-1128=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 7x^{2}+ax+bx-1128. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=10 ab=7\left(-1128\right)=-7896$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -7896.

$$-1,7896 -2,3948 -3,2632 -4,1974 -6,1316 -7,1128 -8,987 -12,658 -14,564 -21,376 -24,329 -28,282 -42,188 -47,168 -56,141 -84,94$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+7896=7895 -2+3948=3946 -3+2632=2629 -4+1974=1970 -6+1316=1310 -7+1128=1121 -8+987=979 -12+658=646 -14+564=550 -21+376=355 -24+329=305 -28+282=254 -42+188=146 -47+168=121 -56+141=85 -84+94=10$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 10.

$$a=-84 b=94$$

Перепишите 7x^{2}+10x-1128 как \left(7x^{2}-84x\right)+\left(94x-1128\right).

$$\left(7x^{2}-84x\right)+\left(94x-1128\right)$$

Разложите 7x в первом и 94 в второй группе.

$$7x\left(x-12\right)+94\left(x-12\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-12, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-12\right)\left(7x+94\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-12=0 и 7x+94=0у.

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$21x^{2}+30x=3384$$

Вычтите 3384 из обеих частей уравнения.

$$21x^{2}+30x-3384=3384-3384$$

Если из 3384 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$21x^{2}+30x-3384=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 21 вместо a, 30 вместо b и -3384 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 21\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

Возведите 30 в квадрат.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 21\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

Умножьте -4 на 21.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-84\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

Умножьте -84 на -3384.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+284256}}{2\times 21}$$

Прибавьте 900 к 284256.

$$x=\frac{-30±\sqrt{285156}}{2\times 21}$$

Извлеките квадратный корень из 285156.

$$x=\frac{-30±534}{2\times 21}$$

Умножьте 2 на 21.

$$x=\frac{-30±534}{42}$$

Решите уравнение x=\frac{-30±534}{42} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -30 к 534.

$$x=\frac{504}{42}$$

Разделите 504 на 42.

$$x=12$$

Решите уравнение x=\frac{-30±534}{42} при условии, что ± — минус. Вычтите 534 из -30.

$$x=-\frac{564}{42}$$

Привести дробь \frac{-564}{42} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 6.

$$x=-\frac{94}{7}$$

Уравнение решено.

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$21x^{2}+30x=3384$$

Разделите обе части на 21.

$$\frac{21x^{2}+30x}{21}=\frac{3384}{21}$$

Деление на 21 аннулирует операцию умножения на 21.

$$x^{2}+\frac{30}{21}x=\frac{3384}{21}$$

Привести дробь \frac{30}{21} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 3.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x=\frac{3384}{21}$$

Привести дробь \frac{3384}{21} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 3.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x=\frac{1128}{7}$$

Деление \frac{10}{7}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{5}{7}. Затем добавьте квадрат \frac{5}{7} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\left(\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{1128}{7}+\left(\frac{5}{7}\right)^{2}$$

Возведите \frac{5}{7} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}=\frac{1128}{7}+\frac{25}{49}$$

Прибавьте \frac{1128}{7} к \frac{25}{49}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}=\frac{7921}{49}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{7921}{49}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7921}{49}}$$

Упростите.

$$x+\frac{5}{7}=\frac{89}{7} x+\frac{5}{7}=-\frac{89}{7}$$

Вычтите \frac{5}{7} из обеих частей уравнения.

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$