Решить 30t=225(t+10)^2

$$30 t = 225 ( t + 10 ) ^ { 2 }$$

Найдите t

$$t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15}\approx -9,933333333+1,152774431i$$

$$t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15}\approx -9,933333333-1,152774431i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(t+10\right)^{2}.

$$30t=225\left(t^{2}+20t+100\right)$$

Чтобы умножить 225 на t^{2}+20t+100, используйте свойство дистрибутивности.

$$30t=225t^{2}+4500t+22500$$

Вычтите 225t^{2} из обеих частей уравнения.

$$30t-225t^{2}=4500t+22500$$

Вычтите 4500t из обеих частей уравнения.

$$30t-225t^{2}-4500t=22500$$

Объедините 30t и -4500t, чтобы получить -4470t.

$$-4470t-225t^{2}=22500$$

Вычтите 22500 из обеих частей уравнения.

$$-4470t-225t^{2}-22500=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-225t^{2}-4470t-22500=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -225 вместо a, -4470 вместо b и -22500 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{\left(-4470\right)^{2}-4\left(-225\right)\left(-22500\right)}}{2\left(-225\right)}$$

Возведите -4470 в квадрат.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{19980900-4\left(-225\right)\left(-22500\right)}}{2\left(-225\right)}$$

Умножьте -4 на -225.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{19980900+900\left(-22500\right)}}{2\left(-225\right)}$$

Умножьте 900 на -22500.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{19980900-20250000}}{2\left(-225\right)}$$

Прибавьте 19980900 к -20250000.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{-269100}}{2\left(-225\right)}$$

Извлеките квадратный корень из -269100.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±30\sqrt{299}i}{2\left(-225\right)}$$

Число, противоположное -4470, равно 4470.

$$t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{2\left(-225\right)}$$

Умножьте 2 на -225.

$$t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{-450}$$

Решите уравнение t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{-450} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 4470 к 30i\sqrt{299}.

$$t=\frac{4470+30\sqrt{299}i}{-450}$$

Разделите 4470+30i\sqrt{299} на -450.

$$t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15}$$

Решите уравнение t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{-450} при условии, что ± — минус. Вычтите 30i\sqrt{299} из 4470.

$$t=\frac{-30\sqrt{299}i+4470}{-450}$$

Разделите 4470-30i\sqrt{299} на -450.

$$t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15}$$

Уравнение решено.

$$t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15} t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(t+10\right)^{2}.

$$30t=225\left(t^{2}+20t+100\right)$$

Чтобы умножить 225 на t^{2}+20t+100, используйте свойство дистрибутивности.

$$30t=225t^{2}+4500t+22500$$

Вычтите 225t^{2} из обеих частей уравнения.

$$30t-225t^{2}=4500t+22500$$

Вычтите 4500t из обеих частей уравнения.

$$30t-225t^{2}-4500t=22500$$

Объедините 30t и -4500t, чтобы получить -4470t.

$$-4470t-225t^{2}=22500$$

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-225t^{2}-4470t=22500$$

Разделите обе части на -225.

$$\frac{-225t^{2}-4470t}{-225}=\frac{22500}{-225}$$

Деление на -225 аннулирует операцию умножения на -225.

$$t^{2}+\left(-\frac{4470}{-225}\right)t=\frac{22500}{-225}$$

Привести дробь \frac{-4470}{-225} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 15.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t=\frac{22500}{-225}$$

Разделите 22500 на -225.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t=-100$$

Деление \frac{298}{15}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{149}{15}. Затем добавьте квадрат \frac{149}{15} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t+\left(\frac{149}{15}\right)^{2}=-100+\left(\frac{149}{15}\right)^{2}$$

Возведите \frac{149}{15} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t+\frac{22201}{225}=-100+\frac{22201}{225}$$

Прибавьте -100 к \frac{22201}{225}.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t+\frac{22201}{225}=-\frac{299}{225}$$

Коэффициент t^{2}+\frac{298}{15}t+\frac{22201}{225}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{149}{15}\right)^{2}=-\frac{299}{225}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(t+\frac{149}{15}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{299}{225}}$$

Упростите.

$$t+\frac{149}{15}=\frac{\sqrt{299}i}{15} t+\frac{149}{15}=-\frac{\sqrt{299}i}{15}$$

Вычтите \frac{149}{15} из обеих частей уравнения.

$$t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15} t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15}$$