Решить 30t+2t^2=300

$$30 t + 2 t ^ { 2 } = 300$$

Найдите t

$$t = \frac{5 \sqrt{33} - 15}{2} \approx 6.861406616$$

$$t=\frac{-5\sqrt{33}-15}{2}\approx -21.861406616$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2t^{2}+30t=300$$

Вычтите 300 из обеих частей уравнения.

$$2t^{2}+30t-300=300-300$$

Если из 300 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2t^{2}+30t-300=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, 30 вместо b и -300 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 2\left(-300\right)}}{2\times 2}$$

Возведите 30 в квадрат.

$$t=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 2\left(-300\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$t=\frac{-30±\sqrt{900-8\left(-300\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на -300.

$$t=\frac{-30±\sqrt{900+2400}}{2\times 2}$$

Прибавьте 900 к 2400.

$$t=\frac{-30±\sqrt{3300}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из 3300.

$$t=\frac{-30±10\sqrt{33}}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$t=\frac{-30±10\sqrt{33}}{4}$$

Решите уравнение t=\frac{-30±10\sqrt{33}}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -30 к 10\sqrt{33}.

$$t=\frac{10\sqrt{33}-30}{4}$$

Разделите -30+10\sqrt{33} на 4.

$$t=\frac{5\sqrt{33}-15}{2}$$

Решите уравнение t=\frac{-30±10\sqrt{33}}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 10\sqrt{33} из -30.

$$t=\frac{-10\sqrt{33}-30}{4}$$

Разделите -30-10\sqrt{33} на 4.

$$t=\frac{-5\sqrt{33}-15}{2}$$

Уравнение решено.

$$t=\frac{5\sqrt{33}-15}{2} t=\frac{-5\sqrt{33}-15}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2t^{2}+30t=300$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2t^{2}+30t}{2}=\frac{300}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$t^{2}+\frac{30}{2}t=\frac{300}{2}$$

Разделите 30 на 2.

$$t^{2}+15t=\frac{300}{2}$$

Разделите 300 на 2.

$$t^{2}+15t=150$$

Разделите 15, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится \frac{15}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{15}{2} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$t^{2}+15t+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=150+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{15}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$t^{2}+15t+\frac{225}{4}=150+\frac{225}{4}$$

Прибавьте 150 к \frac{225}{4}.

$$t^{2}+15t+\frac{225}{4}=\frac{825}{4}$$

Разложите t^{2}+15t+\frac{225}{4} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{825}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(t+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{825}{4}}$$

Упростите.

$$t+\frac{15}{2}=\frac{5\sqrt{33}}{2} t+\frac{15}{2}=-\frac{5\sqrt{33}}{2}$$

Вычтите \frac{15}{2} из обеих частей уравнения.

$$t=\frac{5\sqrt{33}-15}{2} t=\frac{-5\sqrt{33}-15}{2}$$