Решить 30b^2-28b-16=0

$$30 b ^ { 2 } - 28 b - 16 = 0$$

Найдите b

$$b=-\frac{2}{5}=-0,4$$

$$b = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Способ разложения на множители путем группировки

Разделите обе части на 2.

$$15b^{2}-14b-8=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 15b^{2}+ab+bb-8. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-14 ab=15\left(-8\right)=-120$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -14.

$$a=-20 b=6$$

Перепишите 15b^{2}-14b-8 как \left(15b^{2}-20b\right)+\left(6b-8\right).

$$\left(15b^{2}-20b\right)+\left(6b-8\right)$$

Разложите 5b в первом и 2 в второй группе.

$$5b\left(3b-4\right)+2\left(3b-4\right)$$

Вынесите за скобки общий член 3b-4, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(3b-4\right)\left(5b+2\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 3b-4=0 и 5b+2=0у.

$$b=\frac{4}{3} b=-\frac{2}{5}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$30b^{2}-28b-16=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 30 вместо a, -28 вместо b и -16 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 30\left(-16\right)}}{2\times 30}$$

Возведите -28 в квадрат.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 30\left(-16\right)}}{2\times 30}$$

Умножьте -4 на 30.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-120\left(-16\right)}}{2\times 30}$$

Умножьте -120 на -16.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784+1920}}{2\times 30}$$

Прибавьте 784 к 1920.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{2704}}{2\times 30}$$

Извлеките квадратный корень из 2704.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±52}{2\times 30}$$

Число, противоположное -28, равно 28.

$$b=\frac{28±52}{2\times 30}$$

Умножьте 2 на 30.

$$b=\frac{28±52}{60}$$

Решите уравнение b=\frac{28±52}{60} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 28 к 52.

$$b=\frac{80}{60}$$

Привести дробь \frac{80}{60} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 20.

$$b=\frac{4}{3}$$

Решите уравнение b=\frac{28±52}{60} при условии, что ± — минус. Вычтите 52 из 28.

$$b=-\frac{24}{60}$$

Привести дробь \frac{-24}{60} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 12.

$$b=-\frac{2}{5}$$

Уравнение решено.

$$b=\frac{4}{3} b=-\frac{2}{5}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$30b^{2}-28b-16=0$$

Прибавьте 16 к обеим частям уравнения.

$$30b^{2}-28b-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Если из -16 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$30b^{2}-28b=-\left(-16\right)$$

Вычтите -16 из 0.

$$30b^{2}-28b=16$$

Разделите обе части на 30.

$$\frac{30b^{2}-28b}{30}=\frac{16}{30}$$

Деление на 30 аннулирует операцию умножения на 30.

$$b^{2}+\left(-\frac{28}{30}\right)b=\frac{16}{30}$$

Привести дробь \frac{-28}{30} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b=\frac{16}{30}$$

Привести дробь \frac{16}{30} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b=\frac{8}{15}$$

Деление -\frac{14}{15}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{7}{15}. Затем добавьте квадрат -\frac{7}{15} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b+\left(-\frac{7}{15}\right)^{2}=\frac{8}{15}+\left(-\frac{7}{15}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{7}{15} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b+\frac{49}{225}=\frac{8}{15}+\frac{49}{225}$$

Прибавьте \frac{8}{15} к \frac{49}{225}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b+\frac{49}{225}=\frac{169}{225}$$

Коэффициент b^{2}-\frac{14}{15}b+\frac{49}{225}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(b-\frac{7}{15}\right)^{2}=\frac{169}{225}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(b-\frac{7}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{225}}$$

Упростите.

$$b-\frac{7}{15}=\frac{13}{15} b-\frac{7}{15}=-\frac{13}{15}$$

Прибавьте \frac{7}{15} к обеим частям уравнения.

$$b=\frac{4}{3} b=-\frac{2}{5}$$