Решить 3z^2-z-5=0

$$3 z ^ { 2 } - z - 5 = 0$$

Найдите z

$$z = \frac{\sqrt{61} + 1}{6} \approx 1,468374946$$

$$z=\frac{1-\sqrt{61}}{6}\approx -1,135041613$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$3z^{2}-z-5=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, -1 вместо b и -5 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$z=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-12\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на -5.

$$z=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+60}}{2\times 3}$$

Прибавьте 1 к 60.

$$z=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{61}}{2\times 3}$$

Число, противоположное -1, равно 1.

$$z=\frac{1±\sqrt{61}}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$z=\frac{1±\sqrt{61}}{6}$$

Решите уравнение z=\frac{1±\sqrt{61}}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 1 к \sqrt{61}.

$$z=\frac{\sqrt{61}+1}{6}$$

Решите уравнение z=\frac{1±\sqrt{61}}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{61} из 1.

$$z=\frac{1-\sqrt{61}}{6}$$

Уравнение решено.

$$z=\frac{\sqrt{61}+1}{6} z=\frac{1-\sqrt{61}}{6}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$3z^{2}-z-5=0$$

Прибавьте 5 к обеим частям уравнения.

$$3z^{2}-z-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Если из -5 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3z^{2}-z=-\left(-5\right)$$

Вычтите -5 из 0.

$$3z^{2}-z=5$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3z^{2}-z}{3}=\frac{5}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$z^{2}-\frac{1}{3}z=\frac{5}{3}$$

Деление -\frac{1}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{1}{6}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{6} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$z^{2}-\frac{1}{3}z+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{6} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$z^{2}-\frac{1}{3}z+\frac{1}{36}=\frac{5}{3}+\frac{1}{36}$$

Прибавьте \frac{5}{3} к \frac{1}{36}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$z^{2}-\frac{1}{3}z+\frac{1}{36}=\frac{61}{36}$$

Коэффициент z^{2}-\frac{1}{3}z+\frac{1}{36}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{61}{36}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(z-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{61}{36}}$$

Упростите.

$$z-\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{61}}{6} z-\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{61}}{6}$$

Прибавьте \frac{1}{6} к обеим частям уравнения.

$$z=\frac{\sqrt{61}+1}{6} z=\frac{1-\sqrt{61}}{6}$$