Решить 3y^2-y-4=0

$$3 y ^ { 2 } - y - 4 = 0$$

Найдите y

$$y=-1$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 3y^{2}+ay+by-4. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-1 ab=3\left(-4\right)=-12$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -12.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -1.

$$a=-4 b=3$$

Перепишите 3y^{2}-y-4 как \left(3y^{2}-4y\right)+\left(3y-4\right).

$$\left(3y^{2}-4y\right)+\left(3y-4\right)$$

Вынесите за скобки y в 3y^{2}-4y.

$$y\left(3y-4\right)+3y-4$$

Вынесите за скобки общий член 3y-4, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(3y-4\right)\left(y+1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 3y-4=0 и y+1=0у.

$$y=\frac{4}{3} y=-1$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$3y^{2}-y-4=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, -1 вместо b и -4 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-12\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на -4.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+48}}{2\times 3}$$

Прибавьте 1 к 48.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{49}}{2\times 3}$$

Извлеките квадратный корень из 49.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±7}{2\times 3}$$

Число, противоположное -1, равно 1.

$$y=\frac{1±7}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$y=\frac{1±7}{6}$$

Решите уравнение y=\frac{1±7}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 1 к 7.

$$y=\frac{8}{6}$$

Привести дробь \frac{8}{6} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$y=\frac{4}{3}$$

Решите уравнение y=\frac{1±7}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите 7 из 1.

$$y=-\frac{6}{6}$$

Разделите -6 на 6.

$$y=-1$$

Уравнение решено.

$$y=\frac{4}{3} y=-1$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$3y^{2}-y-4=0$$

Прибавьте 4 к обеим частям уравнения.

$$3y^{2}-y-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Если из -4 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3y^{2}-y=-\left(-4\right)$$

Вычтите -4 из 0.

$$3y^{2}-y=4$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3y^{2}-y}{3}=\frac{4}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$y^{2}-\frac{1}{3}y=\frac{4}{3}$$

Деление -\frac{1}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{1}{6}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{6} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$y^{2}-\frac{1}{3}y+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{6} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$y^{2}-\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}=\frac{4}{3}+\frac{1}{36}$$

Прибавьте \frac{4}{3} к \frac{1}{36}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$y^{2}-\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}=\frac{49}{36}$$

Коэффициент y^{2}-\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

Упростите.

$$y-\frac{1}{6}=\frac{7}{6} y-\frac{1}{6}=-\frac{7}{6}$$

Прибавьте \frac{1}{6} к обеим частям уравнения.

$$y=\frac{4}{3} y=-1$$