Решить 3x-y=2;2x-y=3

$$3 x - y = 2 ; 2 x - y = 3$$

Найдите x, y

$$x=-1$$

$$y=-5$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$3x-y=2,2x-y=3$$

Выберите один из уравнений и решите его для x, изолируя x в левой части знака равенства.

$$3x-y=2$$

Прибавьте y к обеим частям уравнения.

$$3x=y+2$$

Разделите обе части на 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+2\right)$$

Умножьте \frac{1}{3} на y+2.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

Подставьте \frac{2+y}{3} вместо x в другом уравнении 2x-y=3.

$$2\left(\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)-y=3$$

Умножьте 2 на \frac{2+y}{3}.

$$\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}-y=3$$

Прибавьте \frac{2y}{3} к -y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}=3$$

Вычтите \frac{4}{3} из обеих частей уравнения.

$$-\frac{1}{3}y=\frac{5}{3}$$

Умножьте обе части на -3.

$$y=-5$$

Подставьте -5 вместо y в x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5\right)+\frac{2}{3}$$

Умножьте \frac{1}{3} на -5.

$$x=\frac{-5+2}{3}$$

Прибавьте \frac{2}{3} к -\frac{5}{3}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x=-1$$

Система решена.

$$x=-1,y=-5$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$3x-y=2,2x-y=3$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2-3\\2\times 2-3\times 3\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=-1,y=-5$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$3x-y=2,2x-y=3$$

Вычтите 2x-y=3 из 3x-y=2 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$3x-2x-y+y=2-3$$

Прибавьте -y к y. Члены -y и y сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$3x-2x=2-3$$

Прибавьте 3x к -2x.

$$x=2-3$$

Прибавьте 2 к -3.

$$x=-1$$

Подставьте -1 вместо x в 2x-y=3. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для y.

$$2\left(-1\right)-y=3$$

Умножьте 2 на -1.

$$-2-y=3$$

Прибавьте 2 к обеим частям уравнения.

$$-y=5$$

Разделите обе части на -1.

$$y=-5$$

Система решена.

$$x=-1,y=-5$$