Решить 3x-5y=4;9x-2y=7

$$3 x - 5 y = 4 ; 9 x - 2 y = 7$$

Найдите x, y

$$x=\frac{9}{13}\approx 0,692307692$$

$$y=-\frac{5}{13}\approx -0,384615385$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Выберите одно из уравнений и решите его для x путем изоляция x в левой части уравнения.

$$3x-5y=4$$

Прибавьте 5y к обеим частям уравнения.

$$3x=5y+4$$

Разделите обе части на 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+4\right)$$

Умножьте \frac{1}{3} на 5y+4.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

Подставьте \frac{5y+4}{3} вместо x в другом уравнении 9x-2y=7.

$$9\left(\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}\right)-2y=7$$

Умножьте 9 на \frac{5y+4}{3}.

$$15y+12-2y=7$$

Прибавьте 15y к -2y.

$$13y+12=7$$

Вычтите 12 из обеих частей уравнения.

$$13y=-5$$

Разделите обе части на 13.

$$y=-\frac{5}{13}$$

Подставьте -\frac{5}{13} вместо y в x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{5}{13}\right)+\frac{4}{3}$$

Умножьте \frac{5}{3} на -\frac{5}{13}, перемножив числители и знаменатели. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x=-\frac{25}{39}+\frac{4}{3}$$

Прибавьте \frac{4}{3} к -\frac{25}{39}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x=\frac{9}{13}$$

Система решена.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&-\frac{-5}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\\-\frac{9}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}\times 4+\frac{5}{39}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 4+\frac{1}{13}\times 7\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{13}\\-\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Чтобы сделать 3x и 9x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на 9 и все члены в обеих частях второго уравнения на 3.

$$9\times 3x+9\left(-5\right)y=9\times 4,3\times 9x+3\left(-2\right)y=3\times 7$$

Упростите.

$$27x-45y=36,27x-6y=21$$

Вычтите 27x-6y=21 из 27x-45y=36 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$27x-27x-45y+6y=36-21$$

Прибавьте 27x к -27x. Члены 27x и -27x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$-45y+6y=36-21$$

Прибавьте -45y к 6y.

$$-39y=36-21$$

Прибавьте 36 к -21.

$$-39y=15$$

Разделите обе части на -39.

$$y=-\frac{5}{13}$$

Подставьте -\frac{5}{13} вместо y в 9x-2y=7. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$9x-2\left(-\frac{5}{13}\right)=7$$

Умножьте -2 на -\frac{5}{13}.

$$9x+\frac{10}{13}=7$$

Вычтите \frac{10}{13} из обеих частей уравнения.

$$9x=\frac{81}{13}$$

Разделите обе части на 9.

$$x=\frac{9}{13}$$

Система решена.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$