Решить 3x^8-12x^4+1=0

$$3 x ^ { 8 } - 12 x ^ { 4 } + 1 = 0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x\in \frac{3^{\frac{3}{4}}\sqrt[4]{6-\sqrt{33}}}{3},-\frac{3^{\frac{3}{4}}i\sqrt[4]{6-\sqrt{33}}}{3},\frac{3^{\frac{3}{4}}i\sqrt[4]{6-\sqrt{33}}}{3},-\frac{3^{\frac{3}{4}}\sqrt[4]{6-\sqrt{33}}}{3},-\frac{3^{\frac{3}{4}}i\sqrt[4]{\sqrt{33}+6}}{3},\frac{3^{\frac{3}{4}}\sqrt[4]{\sqrt{33}+6}}{3},\frac{3^{\frac{3}{4}}i\sqrt[4]{\sqrt{33}+6}}{3},-\frac{3^{\frac{3}{4}}\sqrt[4]{\sqrt{33}+6}}{3}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Замените t на x^{4}.

$$3t^{2}-12t+1=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на 3, b на -12 и c на 1.

$$t=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 3\times 1}}{2\times 3}$$

Выполните арифметические операции.

$$t=\frac{12±2\sqrt{33}}{6}$$

Решение t=\frac{12±2\sqrt{33}}{6} уравнений, когда ±-плюс и когда ± — минус.

$$t=\frac{\sqrt{33}}{3}+2 t=-\frac{\sqrt{33}}{3}+2$$

Так как x=t^{4}, получены решения для каждого t.

$$x=-i\sqrt[4]{\frac{\sqrt{33}}{3}+2} x=-\sqrt[4]{\frac{\sqrt{33}}{3}+2} x=i\sqrt[4]{\frac{\sqrt{33}}{3}+2} x=\sqrt[4]{\frac{\sqrt{33}}{3}+2} x=-i\sqrt[4]{-\frac{\sqrt{33}}{3}+2} x=-\sqrt[4]{-\frac{\sqrt{33}}{3}+2} x=i\sqrt[4]{-\frac{\sqrt{33}}{3}+2} x=\sqrt[4]{-\frac{\sqrt{33}}{3}+2}$$

Найдите x

$$x=-\frac{3^{\frac{3}{4}}\sqrt[4]{6-\sqrt{33}}}{3}\approx -0,540182845$$

$$x=\frac{3^{\frac{3}{4}}\sqrt[4]{6-\sqrt{33}}}{3}\approx 0,540182845$$

$$x = \frac{3 ^ {\frac{3}{4}} \sqrt[4]{\sqrt{33} + 6}}{3} \approx 1,406626835$$

$$x = -\frac{3 ^ {\frac{3}{4}} \sqrt[4]{\sqrt{33} + 6}}{3} \approx -1,406626835$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Замените t на x^{4}.

$$3t^{2}-12t+1=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на 3, b на -12 и c на 1.

$$t=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 3\times 1}}{2\times 3}$$

Выполните арифметические операции.

$$t=\frac{12±2\sqrt{33}}{6}$$

Решение t=\frac{12±2\sqrt{33}}{6} уравнений, когда ±-плюс и когда ± — минус.

$$t=\frac{\sqrt{33}}{3}+2 t=-\frac{\sqrt{33}}{3}+2$$

Так как x=t^{4}, получаемые решения см. при проверке x=±\sqrt[4]{t} для положительных t.

$$x=\frac{\sqrt[4]{27\sqrt{33}+162}}{3} x=-\frac{\sqrt[4]{27\sqrt{33}+162}}{3} x=\frac{\sqrt[4]{162-27\sqrt{33}}}{3} x=-\frac{\sqrt[4]{162-27\sqrt{33}}}{3}$$