Решить 3x^2-8x-17=0

$$3 x ^ { 2 } - 8 x - 17 = 0$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{67} + 4}{3} \approx 4,061784257$$

$$x=\frac{4-\sqrt{67}}{3}\approx -1,395117591$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$3x^{2}-8x-17=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, -8 вместо b и -17 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\left(-17\right)}}{2\times 3}$$

Возведите -8 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\left(-17\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\left(-17\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на -17.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+204}}{2\times 3}$$

Прибавьте 64 к 204.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{268}}{2\times 3}$$

Извлеките квадратный корень из 268.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{67}}{2\times 3}$$

Число, противоположное -8, равно 8.

$$x=\frac{8±2\sqrt{67}}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$x=\frac{8±2\sqrt{67}}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{8±2\sqrt{67}}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 8 к 2\sqrt{67}.

$$x=\frac{2\sqrt{67}+8}{6}$$

Разделите 8+2\sqrt{67} на 6.

$$x=\frac{\sqrt{67}+4}{3}$$

Решите уравнение x=\frac{8±2\sqrt{67}}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите 2\sqrt{67} из 8.

$$x=\frac{8-2\sqrt{67}}{6}$$

Разделите 8-2\sqrt{67} на 6.

$$x=\frac{4-\sqrt{67}}{3}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{67}+4}{3} x=\frac{4-\sqrt{67}}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-8x-17=0$$

Прибавьте 17 к обеим частям уравнения.

$$3x^{2}-8x-17-\left(-17\right)=-\left(-17\right)$$

Если из -17 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3x^{2}-8x=-\left(-17\right)$$

Вычтите -17 из 0.

$$3x^{2}-8x=17$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3x^{2}-8x}{3}=\frac{17}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=\frac{17}{3}$$

Деление -\frac{8}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{4}{3}. Затем добавьте квадрат -\frac{4}{3} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{17}{3}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{4}{3} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{17}{3}+\frac{16}{9}$$

Прибавьте \frac{17}{3} к \frac{16}{9}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{67}{9}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{67}{9}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{67}{9}}$$

Упростите.

$$x-\frac{4}{3}=\frac{\sqrt{67}}{3} x-\frac{4}{3}=-\frac{\sqrt{67}}{3}$$

Прибавьте \frac{4}{3} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{67}+4}{3} x=\frac{4-\sqrt{67}}{3}$$