Решить 3x^2-7x+4=0

$$3 x ^ { 2 } - 7 x + 4 = 0$$

Найдите x

$$x=1$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 3x^{2}+ax+bx+4. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-7 ab=3\times 4=12$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -7.

$$a=-4 b=-3$$

Перепишите 3x^{2}-7x+4 как \left(3x^{2}-4x\right)+\left(-3x+4\right).

$$\left(3x^{2}-4x\right)+\left(-3x+4\right)$$

Разложите x в первом и -1 в второй группе.

$$x\left(3x-4\right)-\left(3x-4\right)$$

Вынесите за скобки общий член 3x-4, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(3x-4\right)\left(x-1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 3x-4=0 и x-1=0у.

$$x=\frac{4}{3} x=1$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$3x^{2}-7x+4=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, -7 вместо b и 4 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Возведите -7 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-12\times 4}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на 4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48}}{2\times 3}$$

Прибавьте 49 к -48.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{1}}{2\times 3}$$

Извлеките квадратный корень из 1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±1}{2\times 3}$$

Число, противоположное -7, равно 7.

$$x=\frac{7±1}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$x=\frac{7±1}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{7±1}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 7 к 1.

$$x=\frac{8}{6}$$

Привести дробь \frac{8}{6} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=\frac{4}{3}$$

Решите уравнение x=\frac{7±1}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите 1 из 7.

$$x=\frac{6}{6}$$

Разделите 6 на 6.

$$x=1$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{4}{3} x=1$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-7x+4=0$$

Вычтите 4 из обеих частей уравнения.

$$3x^{2}-7x+4-4=-4$$

Если из 4 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3x^{2}-7x=-4$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3x^{2}-7x}{3}=-\frac{4}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=-\frac{4}{3}$$

Деление -\frac{7}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{7}{6}. Затем добавьте квадрат -\frac{7}{6} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{7}{6} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=-\frac{4}{3}+\frac{49}{36}$$

Прибавьте -\frac{4}{3} к \frac{49}{36}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{1}{36}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

Упростите.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{1}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{1}{6}$$

Прибавьте \frac{7}{6} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{4}{3} x=1$$