Решить 3x^2-32x+84=0

$$3 x ^ { 2 } - 32 x + 84 = 0$$

Найдите x

$$x=6$$

$$x = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4,666666667$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 3x^{2}+ax+bx+84. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-32 ab=3\times 84=252$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 252.

$$-1,-252 -2,-126 -3,-84 -4,-63 -6,-42 -7,-36 -9,-28 -12,-21 -14,-18$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-252=-253 -2-126=-128 -3-84=-87 -4-63=-67 -6-42=-48 -7-36=-43 -9-28=-37 -12-21=-33 -14-18=-32$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -32.

$$a=-18 b=-14$$

Перепишите 3x^{2}-32x+84 как \left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right).

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right)$$

Разложите 3x в первом и -14 в второй группе.

$$3x\left(x-6\right)-14\left(x-6\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-6, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-6\right)\left(3x-14\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-6=0 и 3x-14=0у.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, -32 вместо b и 84 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

Возведите -32 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-12\times 84}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на 84.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1008}}{2\times 3}$$

Прибавьте 1024 к -1008.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

Извлеките квадратный корень из 16.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±4}{2\times 3}$$

Число, противоположное -32, равно 32.

$$x=\frac{32±4}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$x=\frac{32±4}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{32±4}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 32 к 4.

$$x=\frac{36}{6}$$

Разделите 36 на 6.

$$x=6$$

Решите уравнение x=\frac{32±4}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите 4 из 32.

$$x=\frac{28}{6}$$

Привести дробь \frac{28}{6} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=\frac{14}{3}$$

Уравнение решено.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

Вычтите 84 из обеих частей уравнения.

$$3x^{2}-32x+84-84=-84$$

Если из 84 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3x^{2}-32x=-84$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3x^{2}-32x}{3}=-\frac{84}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-\frac{84}{3}$$

Разделите -84 на 3.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-28$$

Деление -\frac{32}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{16}{3}. Затем добавьте квадрат -\frac{16}{3} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{16}{3} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=-28+\frac{256}{9}$$

Прибавьте -28 к \frac{256}{9}.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=\frac{4}{9}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Упростите.

$$x-\frac{16}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{16}{3}=-\frac{2}{3}$$

Прибавьте \frac{16}{3} к обеим частям уравнения.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$