Решить 3x^2-20x+1=0

$$3 x ^ { 2 } - 20 x + 1 = 0$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{97} + 10}{3} \approx 6,616285934$$

$$x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}\approx 0,050380733$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$3x^{2}-20x+1=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, -20 вместо b и 1 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

Возведите -20 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 3}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-12}}{2\times 3}$$

Прибавьте 400 к -12.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{388}}{2\times 3}$$

Извлеките квадратный корень из 388.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±2\sqrt{97}}{2\times 3}$$

Число, противоположное -20, равно 20.

$$x=\frac{20±2\sqrt{97}}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 20 к 2\sqrt{97}.

$$x=\frac{2\sqrt{97}+20}{6}$$

Разделите 20+2\sqrt{97} на 6.

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3}$$

Решите уравнение x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите 2\sqrt{97} из 20.

$$x=\frac{20-2\sqrt{97}}{6}$$

Разделите 20-2\sqrt{97} на 6.

$$x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-20x+1=0$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$3x^{2}-20x+1-1=-1$$

Если из 1 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3x^{2}-20x=-1$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3x^{2}-20x}{3}=-\frac{1}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Деление -\frac{20}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{10}{3}. Затем добавьте квадрат -\frac{10}{3} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{10}{3} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{100}{9}$$

Прибавьте -\frac{1}{3} к \frac{100}{9}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=\frac{97}{9}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{97}{9}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{97}{9}}$$

Упростите.

$$x-\frac{10}{3}=\frac{\sqrt{97}}{3} x-\frac{10}{3}=-\frac{\sqrt{97}}{3}$$

Прибавьте \frac{10}{3} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$