Решить 3x^2-2x+4=0

$$3 x ^ { 2 } - 2 x + 4 = 0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{3}\approx 0,333333333+1,105541597i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{3}\approx 0,333333333-1,105541597i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$3x^{2}-2x+4=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, -2 вместо b и 4 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Возведите -2 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\times 4}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-48}}{2\times 3}$$

Прибавьте 4 к -48.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-44}}{2\times 3}$$

Извлеките квадратный корень из -44.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

Число, противоположное -2, равно 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$x=\frac{2±2\sqrt{11}i}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{2±2\sqrt{11}i}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 2 к 2i\sqrt{11}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{11}i}{6}$$

Разделите 2+2i\sqrt{11} на 6.

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{3}$$

Решите уравнение x=\frac{2±2\sqrt{11}i}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите 2i\sqrt{11} из 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{11}i+2}{6}$$

Разделите 2-2i\sqrt{11} на 6.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{3}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{3} x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x+4=0$$

Вычтите 4 из обеих частей уравнения.

$$3x^{2}-2x+4-4=-4$$

Если из 4 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3x^{2}-2x=-4$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=-\frac{4}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{4}{3}$$

Деление -\frac{2}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{1}{3}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{3} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{3} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{4}{3}+\frac{1}{9}$$

Прибавьте -\frac{4}{3} к \frac{1}{9}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{11}{9}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{11}{9}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{9}}$$

Упростите.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{11}i}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{11}i}{3}$$

Прибавьте \frac{1}{3} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{3} x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{3}$$