Решить 3x^2-15x-6=3

$$3 x ^ { 2 } - 15 x - 6 = 3$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{37} + 5}{2} \approx 5,541381265$$

$$x=\frac{5-\sqrt{37}}{2}\approx -0,541381265$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$3x^{2}-15x-6=3$$

Вычтите 3 из обеих частей уравнения.

$$3x^{2}-15x-6-3=3-3$$

Если из 3 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3x^{2}-15x-6-3=0$$

Вычтите 3 из -6.

$$3x^{2}-15x-9=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, -15 вместо b и -9 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Возведите -15 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-12\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на -9.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+108}}{2\times 3}$$

Прибавьте 225 к 108.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{333}}{2\times 3}$$

Извлеките квадратный корень из 333.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±3\sqrt{37}}{2\times 3}$$

Число, противоположное -15, равно 15.

$$x=\frac{15±3\sqrt{37}}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$x=\frac{15±3\sqrt{37}}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{15±3\sqrt{37}}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 15 к 3\sqrt{37}.

$$x=\frac{3\sqrt{37}+15}{6}$$

Разделите 15+3\sqrt{37} на 6.

$$x=\frac{\sqrt{37}+5}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{15±3\sqrt{37}}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите 3\sqrt{37} из 15.

$$x=\frac{15-3\sqrt{37}}{6}$$

Разделите 15-3\sqrt{37} на 6.

$$x=\frac{5-\sqrt{37}}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{37}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{37}}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-15x-6=3$$

Прибавьте 6 к обеим частям уравнения.

$$3x^{2}-15x-6-\left(-6\right)=3-\left(-6\right)$$

Если из -6 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3x^{2}-15x=3-\left(-6\right)$$

Вычтите -6 из 3.

$$3x^{2}-15x=9$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3x^{2}-15x}{3}=\frac{9}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{3}\right)x=\frac{9}{3}$$

Разделите -15 на 3.

$$x^{2}-5x=\frac{9}{3}$$

Разделите 9 на 3.

$$x^{2}-5x=3$$

Деление -5, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{5}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{5}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=3+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{5}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=3+\frac{25}{4}$$

Прибавьте 3 к \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{37}{4}$$

Коэффициент x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{37}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{37}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{37}}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{37}}{2}$$

Прибавьте \frac{5}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{37}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{37}}{2}$$