Решить 3x^2-13x=10

$$3 x ^ { 2 } - 13 x = 10$$

Найдите x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Вычтите 10 из обеих частей уравнения.

$$3x^{2}-13x-10=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 3x^{2}+ax+bx-10. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-13 ab=3\left(-10\right)=-30$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -13.

$$a=-15 b=2$$

Перепишите 3x^{2}-13x-10 как \left(3x^{2}-15x\right)+\left(2x-10\right).

$$\left(3x^{2}-15x\right)+\left(2x-10\right)$$

Разложите 3x в первом и 2 в второй группе.

$$3x\left(x-5\right)+2\left(x-5\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-5, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-5\right)\left(3x+2\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-5=0 и 3x+2=0у.

$$x=5 x=-\frac{2}{3}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$3x^{2}-13x=10$$

Вычтите 10 из обеих частей уравнения.

$$3x^{2}-13x-10=10-10$$

Если из 10 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3x^{2}-13x-10=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, -13 вместо b и -10 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 3\left(-10\right)}}{2\times 3}$$

Возведите -13 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 3\left(-10\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-12\left(-10\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на -10.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169+120}}{2\times 3}$$

Прибавьте 169 к 120.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{289}}{2\times 3}$$

Извлеките квадратный корень из 289.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±17}{2\times 3}$$

Число, противоположное -13, равно 13.

$$x=\frac{13±17}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$x=\frac{13±17}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{13±17}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 13 к 17.

$$x=\frac{30}{6}$$

Разделите 30 на 6.

$$x=5$$

Решите уравнение x=\frac{13±17}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите 17 из 13.

$$x=-\frac{4}{6}$$

Привести дробь \frac{-4}{6} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Уравнение решено.

$$x=5 x=-\frac{2}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-13x=10$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3x^{2}-13x}{3}=\frac{10}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$x^{2}-\frac{13}{3}x=\frac{10}{3}$$

Деление -\frac{13}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{13}{6}. Затем добавьте квадрат -\frac{13}{6} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{13}{3}x+\left(-\frac{13}{6}\right)^{2}=\frac{10}{3}+\left(-\frac{13}{6}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{13}{6} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{13}{3}x+\frac{169}{36}=\frac{10}{3}+\frac{169}{36}$$

Прибавьте \frac{10}{3} к \frac{169}{36}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{13}{3}x+\frac{169}{36}=\frac{289}{36}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{13}{3}x+\frac{169}{36}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{6}\right)^{2}=\frac{289}{36}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{36}}$$

Упростите.

$$x-\frac{13}{6}=\frac{17}{6} x-\frac{13}{6}=-\frac{17}{6}$$

Прибавьте \frac{13}{6} к обеим частям уравнения.

$$x=5 x=-\frac{2}{3}$$