Решить 3x^2-10x-6=0

$$3 x ^ { 2 } - 10 x - 6 = 0$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{43} + 5}{3} \approx 3,852479508$$

$$x=\frac{5-\sqrt{43}}{3}\approx -0,519146175$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$3x^{2}-10x-6=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, -10 вместо b и -6 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 3\left(-6\right)}}{2\times 3}$$

Возведите -10 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 3\left(-6\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-12\left(-6\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на -6.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+72}}{2\times 3}$$

Прибавьте 100 к 72.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{172}}{2\times 3}$$

Извлеките квадратный корень из 172.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{43}}{2\times 3}$$

Число, противоположное -10, равно 10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{43}}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$x=\frac{10±2\sqrt{43}}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{10±2\sqrt{43}}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 10 к 2\sqrt{43}.

$$x=\frac{2\sqrt{43}+10}{6}$$

Разделите 10+2\sqrt{43} на 6.

$$x=\frac{\sqrt{43}+5}{3}$$

Решите уравнение x=\frac{10±2\sqrt{43}}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите 2\sqrt{43} из 10.

$$x=\frac{10-2\sqrt{43}}{6}$$

Разделите 10-2\sqrt{43} на 6.

$$x=\frac{5-\sqrt{43}}{3}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{43}+5}{3} x=\frac{5-\sqrt{43}}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-10x-6=0$$

Прибавьте 6 к обеим частям уравнения.

$$3x^{2}-10x-6-\left(-6\right)=-\left(-6\right)$$

Если из -6 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3x^{2}-10x=-\left(-6\right)$$

Вычтите -6 из 0.

$$3x^{2}-10x=6$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3x^{2}-10x}{3}=\frac{6}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=\frac{6}{3}$$

Разделите 6 на 3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=2$$

Деление -\frac{10}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{5}{3}. Затем добавьте квадрат -\frac{5}{3} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=2+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{5}{3} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=2+\frac{25}{9}$$

Прибавьте 2 к \frac{25}{9}.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{43}{9}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{43}{9}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{43}{9}}$$

Упростите.

$$x-\frac{5}{3}=\frac{\sqrt{43}}{3} x-\frac{5}{3}=-\frac{\sqrt{43}}{3}$$

Прибавьте \frac{5}{3} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{43}+5}{3} x=\frac{5-\sqrt{43}}{3}$$