Решить 3x^2+x-4=0

$$3 x ^ { 2 } + x - 4 = 0$$

Найдите x

$$x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1,333333333$$

$$x=1$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 3x^{2}+ax+bx-4. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=1 ab=3\left(-4\right)=-12$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 1.

$$a=-3 b=4$$

Перепишите 3x^{2}+x-4 как \left(3x^{2}-3x\right)+\left(4x-4\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(4x-4\right)$$

Разложите 3x в первом и 4 в второй группе.

$$3x\left(x-1\right)+4\left(x-1\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-1\right)\left(3x+4\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-1=0 и 3x+4=0у.

$$x=1 x=-\frac{4}{3}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$3x^{2}+x-4=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, 1 вместо b и -4 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Возведите 1 в квадрат.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-12\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на -4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+48}}{2\times 3}$$

Прибавьте 1 к 48.

$$x=\frac{-1±\sqrt{49}}{2\times 3}$$

Извлеките квадратный корень из 49.

$$x=\frac{-1±7}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$x=\frac{-1±7}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{-1±7}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -1 к 7.

$$x=\frac{6}{6}$$

Разделите 6 на 6.

$$x=1$$

Решите уравнение x=\frac{-1±7}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите 7 из -1.

$$x=-\frac{8}{6}$$

Привести дробь \frac{-8}{6} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=-\frac{4}{3}$$

Уравнение решено.

$$x=1 x=-\frac{4}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+x-4=0$$

Прибавьте 4 к обеим частям уравнения.

$$3x^{2}+x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Если из -4 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3x^{2}+x=-\left(-4\right)$$

Вычтите -4 из 0.

$$3x^{2}+x=4$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3x^{2}+x}{3}=\frac{4}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{4}{3}$$

Деление \frac{1}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{1}{6}. Затем добавьте квадрат \frac{1}{6} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Возведите \frac{1}{6} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{4}{3}+\frac{1}{36}$$

Прибавьте \frac{4}{3} к \frac{1}{36}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{49}{36}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

Упростите.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{7}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{7}{6}$$

Вычтите \frac{1}{6} из обеих частей уравнения.

$$x=1 x=-\frac{4}{3}$$