Решить 3x^2+x=11

$$3 x ^ { 2 } + x = 11$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{133} - 1}{6} \approx 1,755427099$$

$$x=\frac{-\sqrt{133}-1}{6}\approx -2,088760432$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$3x^{2}+x=11$$

Вычтите 11 из обеих частей уравнения.

$$3x^{2}+x-11=11-11$$

Если из 11 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3x^{2}+x-11=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, 1 вместо b и -11 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

Возведите 1 в квадрат.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-12\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на -11.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+132}}{2\times 3}$$

Прибавьте 1 к 132.

$$x=\frac{-1±\sqrt{133}}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{133}}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{-1±\sqrt{133}}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -1 к \sqrt{133}.

$$x=\frac{\sqrt{133}-1}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{-1±\sqrt{133}}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{133} из -1.

$$x=\frac{-\sqrt{133}-1}{6}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{133}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{133}-1}{6}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+x=11$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3x^{2}+x}{3}=\frac{11}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{11}{3}$$

Деление \frac{1}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{1}{6}. Затем добавьте квадрат \frac{1}{6} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{11}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Возведите \frac{1}{6} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{11}{3}+\frac{1}{36}$$

Прибавьте \frac{11}{3} к \frac{1}{36}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{133}{36}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{133}{36}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{133}{36}}$$

Упростите.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{133}}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{133}}{6}$$

Вычтите \frac{1}{6} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{133}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{133}-1}{6}$$