Решить 3x^2+9x-30=0

$$3 x ^ { 2 } + 9 x - 30 = 0$$

Найдите x

$$x=-5$$

$$x=2$$

Способ разложения на множители путем группировки

Разделите обе части на 3.

$$x^{2}+3x-10=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-10. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=3 ab=1\left(-10\right)=-10$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары, содержащие -10 продукта.

$$-1,10 -2,5$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 3.

$$a=-2 b=5$$

Перепишите x^{2}+3x-10 как \left(x^{2}-2x\right)+\left(5x-10\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(5x-10\right)$$

Вынесите за скобки x в первой и 5 во второй группе.

$$x\left(x-2\right)+5\left(x-2\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-2, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-2\right)\left(x+5\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-2=0 и x+5=0.

$$x=2 x=-5$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$3x^{2}+9x-30=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, 9 вместо b и -30 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\left(-30\right)}}{2\times 3}$$

Возведите 9 в квадрат.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\left(-30\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-12\left(-30\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на -30.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+360}}{2\times 3}$$

Прибавьте 81 к 360.

$$x=\frac{-9±\sqrt{441}}{2\times 3}$$

Извлеките квадратный корень из 441.

$$x=\frac{-9±21}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$x=\frac{-9±21}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{-9±21}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -9 к 21.

$$x=\frac{12}{6}$$

Разделите 12 на 6.

$$x=2$$

Решите уравнение x=\frac{-9±21}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите 21 из -9.

$$x=-\frac{30}{6}$$

Разделите -30 на 6.

$$x=-5$$

Уравнение решено.

$$x=2 x=-5$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+9x-30=0$$

Прибавьте 30 к обеим частям уравнения.

$$3x^{2}+9x-30-\left(-30\right)=-\left(-30\right)$$

Если из -30 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3x^{2}+9x=-\left(-30\right)$$

Вычтите -30 из 0.

$$3x^{2}+9x=30$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3x^{2}+9x}{3}=\frac{30}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$x^{2}+\frac{9}{3}x=\frac{30}{3}$$

Разделите 9 на 3.

$$x^{2}+3x=\frac{30}{3}$$

Разделите 30 на 3.

$$x^{2}+3x=10$$

Разделите 3, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится \frac{3}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{3}{2} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=10+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{3}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=10+\frac{9}{4}$$

Прибавьте 10 к \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{49}{4}$$

Разложите x^{2}+3x+\frac{9}{4} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Упростите.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{7}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

Вычтите \frac{3}{2} из обеих частей уравнения.

$$x=2 x=-5$$