Решить 3x^2+9x+6=90

$$3 x ^ { 2 } + 9 x + 6 = 90$$

Найдите x

$$x=-7$$

$$x=4$$

Способ разложения на множители путем группировки

Вычтите 90 из обеих частей уравнения.

$$3x^{2}+9x+6-90=0$$

Вычтите 90 из 6, чтобы получить -84.

$$3x^{2}+9x-84=0$$

Разделите обе части на 3.

$$x^{2}+3x-28=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-28. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 3.

$$a=-4 b=7$$

Перепишите x^{2}+3x-28 как \left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right)$$

Разложите x в первом и 7 в второй группе.

$$x\left(x-4\right)+7\left(x-4\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-4, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-4\right)\left(x+7\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-4=0 и x+7=0у.

$$x=4 x=-7$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$3x^{2}+9x+6=90$$

Вычтите 90 из обеих частей уравнения.

$$3x^{2}+9x+6-90=90-90$$

Если из 90 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3x^{2}+9x+6-90=0$$

Вычтите 90 из 6.

$$3x^{2}+9x-84=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, 9 вместо b и -84 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\left(-84\right)}}{2\times 3}$$

Возведите 9 в квадрат.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\left(-84\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-12\left(-84\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на -84.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+1008}}{2\times 3}$$

Прибавьте 81 к 1008.

$$x=\frac{-9±\sqrt{1089}}{2\times 3}$$

Извлеките квадратный корень из 1089.

$$x=\frac{-9±33}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$x=\frac{-9±33}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{-9±33}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -9 к 33.

$$x=\frac{24}{6}$$

Разделите 24 на 6.

$$x=4$$

Решите уравнение x=\frac{-9±33}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите 33 из -9.

$$x=-\frac{42}{6}$$

Разделите -42 на 6.

$$x=-7$$

Уравнение решено.

$$x=4 x=-7$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+9x+6=90$$

Вычтите 6 из обеих частей уравнения.

$$3x^{2}+9x+6-6=90-6$$

Если из 6 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3x^{2}+9x=90-6$$

Вычтите 6 из 90.

$$3x^{2}+9x=84$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3x^{2}+9x}{3}=\frac{84}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$x^{2}+\frac{9}{3}x=\frac{84}{3}$$

Разделите 9 на 3.

$$x^{2}+3x=\frac{84}{3}$$

Разделите 84 на 3.

$$x^{2}+3x=28$$

Деление 3, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{3}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{3}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{3}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Прибавьте 28 к \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Коэффициент x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Упростите.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Вычтите \frac{3}{2} из обеих частей уравнения.

$$x=4 x=-7$$