Решить 3x^2+8x-11=0

$$3 x ^ { 2 } + 8 x - 11 = 0$$

Найдите x

$$x = -\frac{11}{3} = -3\frac{2}{3} \approx -3,666666667$$

$$x=1$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 3x^{2}+ax+bx-11. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=8 ab=3\left(-11\right)=-33$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -33.

$$-1,33 -3,11$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+33=32 -3+11=8$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 8.

$$a=-3 b=11$$

Перепишите 3x^{2}+8x-11 как \left(3x^{2}-3x\right)+\left(11x-11\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(11x-11\right)$$

Разложите 3x в первом и 11 в второй группе.

$$3x\left(x-1\right)+11\left(x-1\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-1\right)\left(3x+11\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-1=0 и 3x+11=0у.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$3x^{2}+8x-11=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, 8 вместо b и -11 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 3\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

Возведите 8 в квадрат.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 3\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-12\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на -11.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+132}}{2\times 3}$$

Прибавьте 64 к 132.

$$x=\frac{-8±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Извлеките квадратный корень из 196.

$$x=\frac{-8±14}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$x=\frac{-8±14}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{-8±14}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -8 к 14.

$$x=\frac{6}{6}$$

Разделите 6 на 6.

$$x=1$$

Решите уравнение x=\frac{-8±14}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите 14 из -8.

$$x=-\frac{22}{6}$$

Привести дробь \frac{-22}{6} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=-\frac{11}{3}$$

Уравнение решено.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+8x-11=0$$

Прибавьте 11 к обеим частям уравнения.

$$3x^{2}+8x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

Если из -11 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3x^{2}+8x=-\left(-11\right)$$

Вычтите -11 из 0.

$$3x^{2}+8x=11$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3x^{2}+8x}{3}=\frac{11}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=\frac{11}{3}$$

Деление \frac{8}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{4}{3}. Затем добавьте квадрат \frac{4}{3} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{11}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Возведите \frac{4}{3} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{11}{3}+\frac{16}{9}$$

Прибавьте \frac{11}{3} к \frac{16}{9}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{49}{9}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Упростите.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{7}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{7}{3}$$

Вычтите \frac{4}{3} из обеих частей уравнения.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$