Решить 3x^2+5x=9

$$3 x ^ { 2 } + 5 x = 9$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{133} - 5}{6} \approx 1.088760432$$

$$x=\frac{-\sqrt{133}-5}{6}\approx -2.755427099$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$3x^{2}+5x=9$$

Вычтите 9 из обеих частей уравнения.

$$3x^{2}+5x-9=9-9$$

Если из 9 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3x^{2}+5x-9=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, 5 вместо b и -9 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Возведите 5 в квадрат.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на -9.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+108}}{2\times 3}$$

Прибавьте 25 к 108.

$$x=\frac{-5±\sqrt{133}}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{133}}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{-5±\sqrt{133}}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -5 к \sqrt{133}.

$$x=\frac{\sqrt{133}-5}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{-5±\sqrt{133}}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{133} из -5.

$$x=\frac{-\sqrt{133}-5}{6}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{133}-5}{6} x=\frac{-\sqrt{133}-5}{6}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+5x=9$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=\frac{9}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=\frac{9}{3}$$

Разделите 9 на 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=3$$

Разделите \frac{5}{3}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится \frac{5}{6}. Затем добавьте квадрат \frac{5}{6} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=3+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Возведите \frac{5}{6} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=3+\frac{25}{36}$$

Прибавьте 3 к \frac{25}{36}.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{133}{36}$$

Разложите x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{133}{36}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{133}{36}}$$

Упростите.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{133}}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{133}}{6}$$

Вычтите \frac{5}{6} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{133}-5}{6} x=\frac{-\sqrt{133}-5}{6}$$