Решить 3x^2+4x-7=0

$$3 x ^ { 2 } + 4 x - 7 = 0$$

Найдите x

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2,333333333$$

$$x=1$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 3x^{2}+ax+bx-7. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=4 ab=3\left(-7\right)=-21$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -21.

$$-1,21 -3,7$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+21=20 -3+7=4$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 4.

$$a=-3 b=7$$

Перепишите 3x^{2}+4x-7 как \left(3x^{2}-3x\right)+\left(7x-7\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(7x-7\right)$$

Разложите 3x в первом и 7 в второй группе.

$$3x\left(x-1\right)+7\left(x-1\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-1\right)\left(3x+7\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-1=0 и 3x+7=0у.

$$x=1 x=-\frac{7}{3}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$3x^{2}+4x-7=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, 4 вместо b и -7 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Возведите 4 в квадрат.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на -7.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+84}}{2\times 3}$$

Прибавьте 16 к 84.

$$x=\frac{-4±\sqrt{100}}{2\times 3}$$

Извлеките квадратный корень из 100.

$$x=\frac{-4±10}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$x=\frac{-4±10}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{-4±10}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -4 к 10.

$$x=\frac{6}{6}$$

Разделите 6 на 6.

$$x=1$$

Решите уравнение x=\frac{-4±10}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите 10 из -4.

$$x=-\frac{14}{6}$$

Привести дробь \frac{-14}{6} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Уравнение решено.

$$x=1 x=-\frac{7}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+4x-7=0$$

Прибавьте 7 к обеим частям уравнения.

$$3x^{2}+4x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Если из -7 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3x^{2}+4x=-\left(-7\right)$$

Вычтите -7 из 0.

$$3x^{2}+4x=7$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=\frac{7}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{7}{3}$$

Деление \frac{4}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{2}{3}. Затем добавьте квадрат \frac{2}{3} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{7}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Возведите \frac{2}{3} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{7}{3}+\frac{4}{9}$$

Прибавьте \frac{7}{3} к \frac{4}{9}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{25}{9}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{25}{9}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{9}}$$

Упростите.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{5}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{5}{3}$$

Вычтите \frac{2}{3} из обеих частей уравнения.

$$x=1 x=-\frac{7}{3}$$