Решить 3x^2+4x-1=0

$$3 x ^ { 2 } + 4 x - 1 = 0$$

Найдите x

$$x=\frac{\sqrt{7}-2}{3}\approx 0,215250437$$

$$x=\frac{-\sqrt{7}-2}{3}\approx -1,54858377$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$3x^{2}+4x-1=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, 4 вместо b и -1 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Возведите 4 в квадрат.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+12}}{2\times 3}$$

Прибавьте 16 к 12.

$$x=\frac{-4±\sqrt{28}}{2\times 3}$$

Извлеките квадратный корень из 28.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{7}}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{7}}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{-4±2\sqrt{7}}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -4 к 2\sqrt{7}.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-4}{6}$$

Разделите -4+2\sqrt{7} на 6.

$$x=\frac{\sqrt{7}-2}{3}$$

Решите уравнение x=\frac{-4±2\sqrt{7}}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите 2\sqrt{7} из -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-4}{6}$$

Разделите -4-2\sqrt{7} на 6.

$$x=\frac{-\sqrt{7}-2}{3}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{7}-2}{3} x=\frac{-\sqrt{7}-2}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+4x-1=0$$

Прибавьте 1 к обеим частям уравнения.

$$3x^{2}+4x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Если из -1 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3x^{2}+4x=-\left(-1\right)$$

Вычтите -1 из 0.

$$3x^{2}+4x=1$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=\frac{1}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{1}{3}$$

Деление \frac{4}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{2}{3}. Затем добавьте квадрат \frac{2}{3} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Возведите \frac{2}{3} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

Прибавьте \frac{1}{3} к \frac{4}{9}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{7}{9}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{7}{9}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{9}}$$

Упростите.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{7}}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{7}}{3}$$

Вычтите \frac{2}{3} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{7}-2}{3} x=\frac{-\sqrt{7}-2}{3}$$