Решить 3x^2+2x+5=18

$$3 x ^ { 2 } + 2 x + 5 = 18$$

Найдите x

$$x = \frac{2 \sqrt{10} - 1}{3} \approx 1,774851773$$

$$x=\frac{-2\sqrt{10}-1}{3}\approx -2,44151844$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$3x^{2}+2x+5=18$$

Вычтите 18 из обеих частей уравнения.

$$3x^{2}+2x+5-18=18-18$$

Если из 18 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3x^{2}+2x+5-18=0$$

Вычтите 18 из 5.

$$3x^{2}+2x-13=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, 2 вместо b и -13 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3\left(-13\right)}}{2\times 3}$$

Возведите 2 в квадрат.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3\left(-13\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-12\left(-13\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на -13.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+156}}{2\times 3}$$

Прибавьте 4 к 156.

$$x=\frac{-2±\sqrt{160}}{2\times 3}$$

Извлеките квадратный корень из 160.

$$x=\frac{-2±4\sqrt{10}}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$x=\frac{-2±4\sqrt{10}}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{-2±4\sqrt{10}}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -2 к 4\sqrt{10}.

$$x=\frac{4\sqrt{10}-2}{6}$$

Разделите -2+4\sqrt{10} на 6.

$$x=\frac{2\sqrt{10}-1}{3}$$

Решите уравнение x=\frac{-2±4\sqrt{10}}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите 4\sqrt{10} из -2.

$$x=\frac{-4\sqrt{10}-2}{6}$$

Разделите -2-4\sqrt{10} на 6.

$$x=\frac{-2\sqrt{10}-1}{3}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{2\sqrt{10}-1}{3} x=\frac{-2\sqrt{10}-1}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+2x+5=18$$

Вычтите 5 из обеих частей уравнения.

$$3x^{2}+2x+5-5=18-5$$

Если из 5 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3x^{2}+2x=18-5$$

Вычтите 5 из 18.

$$3x^{2}+2x=13$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3x^{2}+2x}{3}=\frac{13}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=\frac{13}{3}$$

Деление \frac{2}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{1}{3}. Затем добавьте квадрат \frac{1}{3} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{13}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Возведите \frac{1}{3} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{13}{3}+\frac{1}{9}$$

Прибавьте \frac{13}{3} к \frac{1}{9}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{40}{9}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{40}{9}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{40}{9}}$$

Упростите.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{10}}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{2\sqrt{10}}{3}$$

Вычтите \frac{1}{3} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{2\sqrt{10}-1}{3} x=\frac{-2\sqrt{10}-1}{3}$$