Решить 3x^2+2x+1=0

$$3 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}\approx -0,333333333+0,471404521i$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}\approx -0,333333333-0,471404521i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$3x^{2}+2x+1=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, 2 вместо b и 1 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

Возведите 2 в квадрат.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-12}}{2\times 3}$$

Прибавьте 4 к -12.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-8}}{2\times 3}$$

Извлеките квадратный корень из -8.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -2 к 2i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{2}i}{6}$$

Разделите -2+2i\sqrt{2} на 6.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}$$

Решите уравнение x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите 2i\sqrt{2} из -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-2}{6}$$

Разделите -2-2i\sqrt{2} на 6.

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+2x+1=0$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$3x^{2}+2x+1-1=-1$$

Если из 1 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3x^{2}+2x=-1$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3x^{2}+2x}{3}=-\frac{1}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Деление \frac{2}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{1}{3}. Затем добавьте квадрат \frac{1}{3} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Возведите \frac{1}{3} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

Прибавьте -\frac{1}{3} к \frac{1}{9}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{2}{9}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2}{9}}$$

Упростите.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{2}i}{3}$$

Вычтите \frac{1}{3} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$