Решить 3x^2+16x-5=0

$$3 x ^ { 2 } + 16 x - 5 = 0$$

Найдите x

$$x=\frac{\sqrt{79}-8}{3}\approx 0,296064806$$

$$x=\frac{-\sqrt{79}-8}{3}\approx -5,629398139$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$3x^{2}+16x-5=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, 16 вместо b и -5 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Возведите 16 в квадрат.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-12\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на -5.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+60}}{2\times 3}$$

Прибавьте 256 к 60.

$$x=\frac{-16±\sqrt{316}}{2\times 3}$$

Извлеките квадратный корень из 316.

$$x=\frac{-16±2\sqrt{79}}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$x=\frac{-16±2\sqrt{79}}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{-16±2\sqrt{79}}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -16 к 2\sqrt{79}.

$$x=\frac{2\sqrt{79}-16}{6}$$

Разделите -16+2\sqrt{79} на 6.

$$x=\frac{\sqrt{79}-8}{3}$$

Решите уравнение x=\frac{-16±2\sqrt{79}}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите 2\sqrt{79} из -16.

$$x=\frac{-2\sqrt{79}-16}{6}$$

Разделите -16-2\sqrt{79} на 6.

$$x=\frac{-\sqrt{79}-8}{3}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{79}-8}{3} x=\frac{-\sqrt{79}-8}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+16x-5=0$$

Прибавьте 5 к обеим частям уравнения.

$$3x^{2}+16x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Если из -5 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3x^{2}+16x=-\left(-5\right)$$

Вычтите -5 из 0.

$$3x^{2}+16x=5$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3x^{2}+16x}{3}=\frac{5}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=\frac{5}{3}$$

Деление \frac{16}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{8}{3}. Затем добавьте квадрат \frac{8}{3} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Возведите \frac{8}{3} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{5}{3}+\frac{64}{9}$$

Прибавьте \frac{5}{3} к \frac{64}{9}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{79}{9}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{79}{9}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{79}{9}}$$

Упростите.

$$x+\frac{8}{3}=\frac{\sqrt{79}}{3} x+\frac{8}{3}=-\frac{\sqrt{79}}{3}$$

Вычтите \frac{8}{3} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{79}-8}{3} x=\frac{-\sqrt{79}-8}{3}$$