Решить 3x^2+15x-12=0

$$3 x ^ { 2 } + 15 x - 12 = 0$$

Найдите x

$$x=\frac{\sqrt{41}-5}{2}\approx 0,701562119$$

$$x=\frac{-\sqrt{41}-5}{2}\approx -5,701562119$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$3x^{2}+15x-12=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, 15 вместо b и -12 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-15±\sqrt{15^{2}-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Возведите 15 в квадрат.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225-12\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на -12.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225+144}}{2\times 3}$$

Прибавьте 225 к 144.

$$x=\frac{-15±\sqrt{369}}{2\times 3}$$

Извлеките квадратный корень из 369.

$$x=\frac{-15±3\sqrt{41}}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$x=\frac{-15±3\sqrt{41}}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{-15±3\sqrt{41}}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -15 к 3\sqrt{41}.

$$x=\frac{3\sqrt{41}-15}{6}$$

Разделите -15+3\sqrt{41} на 6.

$$x=\frac{\sqrt{41}-5}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-15±3\sqrt{41}}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите 3\sqrt{41} из -15.

$$x=\frac{-3\sqrt{41}-15}{6}$$

Разделите -15-3\sqrt{41} на 6.

$$x=\frac{-\sqrt{41}-5}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{41}-5}{2} x=\frac{-\sqrt{41}-5}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+15x-12=0$$

Прибавьте 12 к обеим частям уравнения.

$$3x^{2}+15x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

Если из -12 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3x^{2}+15x=-\left(-12\right)$$

Вычтите -12 из 0.

$$3x^{2}+15x=12$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3x^{2}+15x}{3}=\frac{12}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$x^{2}+\frac{15}{3}x=\frac{12}{3}$$

Разделите 15 на 3.

$$x^{2}+5x=\frac{12}{3}$$

Разделите 12 на 3.

$$x^{2}+5x=4$$

Деление 5, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{5}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{5}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=4+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{5}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=4+\frac{25}{4}$$

Прибавьте 4 к \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{41}{4}$$

Коэффициент x^{2}+5x+\frac{25}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{41}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{4}}$$

Упростите.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{41}}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{41}}{2}$$

Вычтите \frac{5}{2} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{41}-5}{2} x=\frac{-\sqrt{41}-5}{2}$$