Решить 3x^2+13x-10<0

$$3 x ^ { 2 } + 13 x - 10 < 0$$

Решение для x

$$x\in \left(-5,\frac{2}{3}\right)$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Чтобы решить неравенство, разложите левую часть на множители. Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}+13x-10=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на 3, b на 13 и c на -10.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 3\left(-10\right)}}{2\times 3}$$

Выполните арифметические операции.

$$x=\frac{-13±17}{6}$$

Решение x=\frac{-13±17}{6} уравнений, когда ±-плюс и когда ± — минус.

$$x=\frac{2}{3} x=-5$$

Перепишите неравенство, используя полученные решения.

$$3\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x+5\right)<0$$

Чтобы произведение было отрицательным, x-\frac{2}{3} и x+5 должны иметь противоположные знаки. Рассмотрите, когда x-\frac{2}{3} положительное и x+5 отрицательно.

$$x-\frac{2}{3}>0 x+5<0$$

Это неверно для любого x.

$$x\in \emptyset$$

Рассмотрите, когда x+5 положительное и x-\frac{2}{3} отрицательно.

$$x+5>0 x-\frac{2}{3}<0$$

Решение, которое удовлетворяет обоим неравенствам: x\in \left(-5,\frac{2}{3}\right).

$$x\in \left(-5,\frac{2}{3}\right)$$

Окончательное решение — это объединение полученных решений.

$$x\in \left(-5,\frac{2}{3}\right)$$