Решить 3x+9=6ytext{and}-2x-2y-12=0

$$3 x + 9 = 6 y \text { and } - 2 x - 2 y - 12 = 0$$

Найдите x, y

$$x=-5$$

$$y=-1$$

Действия с использованием подстановок

Рассмотрите первое уравнение. Вычтите 6y из обеих частей уравнения.

$$3x+9-6y=0$$

Вычтите 9 из обеих частей уравнения. Если вычесть любое число из нуля, то получится его отрицательный эквивалент.

$$3x-6y=-9$$

Рассмотрите второе уравнение. Прибавьте 12 к обеим частям. Если прибавить к любому числу ноль, то это число не изменится.

$$-2x-2y=12$$

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Выберите одно из уравнений и решите его для x путем изоляция x в левой части уравнения.

$$3x-6y=-9$$

Прибавьте 6y к обеим частям уравнения.

$$3x=6y-9$$

Разделите обе части на 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(6y-9\right)$$

Умножьте \frac{1}{3} на 6y-9.

$$x=2y-3$$

Подставьте 2y-3 вместо x в другом уравнении -2x-2y=12.

$$-2\left(2y-3\right)-2y=12$$

Умножьте -2 на 2y-3.

$$-4y+6-2y=12$$

Прибавьте -4y к -2y.

$$-6y+6=12$$

Вычтите 6 из обеих частей уравнения.

$$-6y=6$$

Разделите обе части на -6.

$$y=-1$$

Подставьте -1 вместо y в x=2y-3. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=2\left(-1\right)-3$$

Умножьте 2 на -1.

$$x=-2-3$$

Прибавьте -3 к -2.

$$x=-5$$

Система решена.

$$x=-5,y=-1$$

Действия с использованием матриц

Рассмотрите первое уравнение. Вычтите 6y из обеих частей уравнения.

$$3x+9-6y=0$$

Вычтите 9 из обеих частей уравнения. Если вычесть любое число из нуля, то получится его отрицательный эквивалент.

$$3x-6y=-9$$

Рассмотрите второе уравнение. Прибавьте 12 к обеим частям. Если прибавить к любому числу ноль, то это число не изменится.

$$-2x-2y=12$$

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&-\frac{-6}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{9}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{3}\times 12\\-\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{6}\times 12\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=-5,y=-1$$

Действия с использованием исключения

Рассмотрите первое уравнение. Вычтите 6y из обеих частей уравнения.

$$3x+9-6y=0$$

Вычтите 9 из обеих частей уравнения. Если вычесть любое число из нуля, то получится его отрицательный эквивалент.

$$3x-6y=-9$$

Рассмотрите второе уравнение. Прибавьте 12 к обеим частям. Если прибавить к любому числу ноль, то это число не изменится.

$$-2x-2y=12$$

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Чтобы сделать 3x и -2x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на -2 и все члены в обеих частях второго уравнения на 3.

$$-2\times 3x-2\left(-6\right)y=-2\left(-9\right),3\left(-2\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 12$$

Упростите.

$$-6x+12y=18,-6x-6y=36$$

Вычтите -6x-6y=36 из -6x+12y=18 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$-6x+6x+12y+6y=18-36$$

Прибавьте -6x к 6x. Члены -6x и 6x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$12y+6y=18-36$$

Прибавьте 12y к 6y.

$$18y=18-36$$

Прибавьте 18 к -36.

$$18y=-18$$

Разделите обе части на 18.

$$y=-1$$

Подставьте -1 вместо y в -2x-2y=12. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$-2x-2\left(-1\right)=12$$

Умножьте -2 на -1.

$$-2x+2=12$$

Вычтите 2 из обеих частей уравнения.

$$-2x=10$$

Разделите обе части на -2.

$$x=-5$$

Система решена.

$$x=-5,y=-1$$