Решить 3x+5=x^2+1

$$3 x + 5 = x ^ { 2 } + 1$$

Найдите x

$$x=-1$$

$$x=4$$

Способ разложения на множители путем группировки

Вычтите x^{2} из обеих частей уравнения.

$$3x+5-x^{2}=1$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$3x+5-x^{2}-1=0$$

Вычтите 1 из 5, чтобы получить 4.

$$3x+4-x^{2}=0$$

Приведите многочлен к стандартному виду. Разместите члены, начиная с члена с наибольшей степенью и заканчивая членом с наименьшей степенью.

$$-x^{2}+3x+4=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -x^{2}+ax+bx+4. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=3 ab=-4=-4$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -4.

$$-1,4 -2,2$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+4=3 -2+2=0$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 3.

$$a=4 b=-1$$

Перепишите -x^{2}+3x+4 как \left(-x^{2}+4x\right)+\left(-x+4\right).

$$\left(-x^{2}+4x\right)+\left(-x+4\right)$$

Разложите -x в первом и -1 в второй группе.

$$-x\left(x-4\right)-\left(x-4\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-4, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-4\right)\left(-x-1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-4=0 и -x-1=0у.

$$x=4 x=-1$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Вычтите x^{2} из обеих частей уравнения.

$$3x+5-x^{2}=1$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$3x+5-x^{2}-1=0$$

Вычтите 1 из 5, чтобы получить 4.

$$3x+4-x^{2}=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-x^{2}+3x+4=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -1 вместо a, 3 вместо b и 4 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Возведите 3 в квадрат.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте -4 на -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 4 на 4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+16}}{2\left(-1\right)}$$

Прибавьте 9 к 16.

$$x=\frac{-3±\sqrt{25}}{2\left(-1\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 25.

$$x=\frac{-3±5}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 2 на -1.

$$x=\frac{-3±5}{-2}$$

Решите уравнение x=\frac{-3±5}{-2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -3 к 5.

$$x=\frac{2}{-2}$$

Разделите 2 на -2.

$$x=-1$$

Решите уравнение x=\frac{-3±5}{-2} при условии, что ± — минус. Вычтите 5 из -3.

$$x=-\frac{8}{-2}$$

Разделите -8 на -2.

$$x=4$$

Уравнение решено.

$$x=-1 x=4$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Вычтите x^{2} из обеих частей уравнения.

$$3x+5-x^{2}=1$$

Вычтите 5 из обеих частей уравнения.

$$3x-x^{2}=1-5$$

Вычтите 5 из 1, чтобы получить -4.

$$3x-x^{2}=-4$$

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+3x=-4$$

Разделите обе части на -1.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=-\frac{4}{-1}$$

Деление на -1 аннулирует операцию умножения на -1.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=-\frac{4}{-1}$$

Разделите 3 на -1.

$$x^{2}-3x=-\frac{4}{-1}$$

Разделите -4 на -1.

$$x^{2}-3x=4$$

Деление -3, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{3}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{3}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{3}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$$

Прибавьте 4 к \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

Коэффициент x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$$

Прибавьте \frac{3}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=4 x=-1$$