Решить 3x+2y=8text{and}5x-4y=6

$$3 x + 2 y = 8 \text { and } 5 x - 4 y = 6$$

Найдите x, y

$$x=2$$

$$y=1$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$3x+2y=8,5x-4y=6$$

Выберите одно из уравнений и решите его для x путем изоляция x в левой части уравнения.

$$3x+2y=8$$

Вычтите 2y из обеих частей уравнения.

$$3x=-2y+8$$

Разделите обе части на 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+8\right)$$

Умножьте \frac{1}{3} на -2y+8.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}$$

Подставьте \frac{-2y+8}{3} вместо x в другом уравнении 5x-4y=6.

$$5\left(-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}\right)-4y=6$$

Умножьте 5 на \frac{-2y+8}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{40}{3}-4y=6$$

Прибавьте -\frac{10y}{3} к -4y.

$$-\frac{22}{3}y+\frac{40}{3}=6$$

Вычтите \frac{40}{3} из обеих частей уравнения.

$$-\frac{22}{3}y=-\frac{22}{3}$$

Разделите обе стороны уравнения на -\frac{22}{3}, что равносильно умножению обеих частей на обратную дробь.

$$y=1$$

Подставьте 1 вместо y в x=-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=\frac{-2+8}{3}$$

Прибавьте \frac{8}{3} к -\frac{2}{3}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x=2$$

Система решена.

$$x=2,y=1$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$3x+2y=8,5x-4y=6$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(-4\right)-2\times 5}&-\frac{2}{3\left(-4\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-4\right)-2\times 5}&\frac{3}{3\left(-4\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{5}{22}&-\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 8+\frac{1}{11}\times 6\\\frac{5}{22}\times 8-\frac{3}{22}\times 6\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=2,y=1$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$3x+2y=8,5x-4y=6$$

Чтобы сделать 3x и 5x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на 5 и все члены в обеих частях второго уравнения на 3.

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 8,3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\times 6$$

Упростите.

$$15x+10y=40,15x-12y=18$$

Вычтите 15x-12y=18 из 15x+10y=40 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$15x-15x+10y+12y=40-18$$

Прибавьте 15x к -15x. Члены 15x и -15x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$10y+12y=40-18$$

Прибавьте 10y к 12y.

$$22y=40-18$$

Прибавьте 40 к -18.

$$22y=22$$

Разделите обе части на 22.

$$y=1$$

Подставьте 1 вместо y в 5x-4y=6. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$5x-4=6$$

Прибавьте 4 к обеим частям уравнения.

$$5x=10$$

Разделите обе части на 5.

$$x=2$$

Система решена.

$$x=2,y=1$$