Решить 3t^2-7t-1=0

$$3 t ^ { 2 } - 7 t - 1 = 0$$

Найдите t

$$t = \frac{\sqrt{61} + 7}{6} \approx 2,468374946$$

$$t=\frac{7-\sqrt{61}}{6}\approx -0,135041613$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$3t^{2}-7t-1=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, -7 вместо b и -1 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Возведите -7 в квадрат.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на -1.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+12}}{2\times 3}$$

Прибавьте 49 к 12.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{61}}{2\times 3}$$

Число, противоположное -7, равно 7.

$$t=\frac{7±\sqrt{61}}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$t=\frac{7±\sqrt{61}}{6}$$

Решите уравнение t=\frac{7±\sqrt{61}}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 7 к \sqrt{61}.

$$t=\frac{\sqrt{61}+7}{6}$$

Решите уравнение t=\frac{7±\sqrt{61}}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{61} из 7.

$$t=\frac{7-\sqrt{61}}{6}$$

Уравнение решено.

$$t=\frac{\sqrt{61}+7}{6} t=\frac{7-\sqrt{61}}{6}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$3t^{2}-7t-1=0$$

Прибавьте 1 к обеим частям уравнения.

$$3t^{2}-7t-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Если из -1 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3t^{2}-7t=-\left(-1\right)$$

Вычтите -1 из 0.

$$3t^{2}-7t=1$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3t^{2}-7t}{3}=\frac{1}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$t^{2}-\frac{7}{3}t=\frac{1}{3}$$

Деление -\frac{7}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{7}{6}. Затем добавьте квадрат -\frac{7}{6} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$t^{2}-\frac{7}{3}t+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{7}{6} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$t^{2}-\frac{7}{3}t+\frac{49}{36}=\frac{1}{3}+\frac{49}{36}$$

Прибавьте \frac{1}{3} к \frac{49}{36}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$t^{2}-\frac{7}{3}t+\frac{49}{36}=\frac{61}{36}$$

Коэффициент t^{2}-\frac{7}{3}t+\frac{49}{36}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{61}{36}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(t-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{61}{36}}$$

Упростите.

$$t-\frac{7}{6}=\frac{\sqrt{61}}{6} t-\frac{7}{6}=-\frac{\sqrt{61}}{6}$$

Прибавьте \frac{7}{6} к обеим частям уравнения.

$$t=\frac{\sqrt{61}+7}{6} t=\frac{7-\sqrt{61}}{6}$$