Решить 3t^2-2t-100=0

$$3 t ^ { 2 } - 2 t - 100 = 0$$

Найдите t

$$t = \frac{\sqrt{301} + 1}{3} \approx 6,116450524$$

$$t=\frac{1-\sqrt{301}}{3}\approx -5,449783858$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$3t^{2}-2t-100=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, -2 вместо b и -100 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-100\right)}}{2\times 3}$$

Возведите -2 в квадрат.

$$t=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-100\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$t=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-100\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на -100.

$$t=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+1200}}{2\times 3}$$

Прибавьте 4 к 1200.

$$t=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{1204}}{2\times 3}$$

Извлеките квадратный корень из 1204.

$$t=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{301}}{2\times 3}$$

Число, противоположное -2, равно 2.

$$t=\frac{2±2\sqrt{301}}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$t=\frac{2±2\sqrt{301}}{6}$$

Решите уравнение t=\frac{2±2\sqrt{301}}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 2 к 2\sqrt{301}.

$$t=\frac{2\sqrt{301}+2}{6}$$

Разделите 2+2\sqrt{301} на 6.

$$t=\frac{\sqrt{301}+1}{3}$$

Решите уравнение t=\frac{2±2\sqrt{301}}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите 2\sqrt{301} из 2.

$$t=\frac{2-2\sqrt{301}}{6}$$

Разделите 2-2\sqrt{301} на 6.

$$t=\frac{1-\sqrt{301}}{3}$$

Уравнение решено.

$$t=\frac{\sqrt{301}+1}{3} t=\frac{1-\sqrt{301}}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$3t^{2}-2t-100=0$$

Прибавьте 100 к обеим частям уравнения.

$$3t^{2}-2t-100-\left(-100\right)=-\left(-100\right)$$

Если из -100 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3t^{2}-2t=-\left(-100\right)$$

Вычтите -100 из 0.

$$3t^{2}-2t=100$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3t^{2}-2t}{3}=\frac{100}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$t^{2}-\frac{2}{3}t=\frac{100}{3}$$

Деление -\frac{2}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{1}{3}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{3} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$t^{2}-\frac{2}{3}t+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{100}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{3} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$t^{2}-\frac{2}{3}t+\frac{1}{9}=\frac{100}{3}+\frac{1}{9}$$

Прибавьте \frac{100}{3} к \frac{1}{9}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$t^{2}-\frac{2}{3}t+\frac{1}{9}=\frac{301}{9}$$

Коэффициент t^{2}-\frac{2}{3}t+\frac{1}{9}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{301}{9}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(t-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{301}{9}}$$

Упростите.

$$t-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{301}}{3} t-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{301}}{3}$$

Прибавьте \frac{1}{3} к обеим частям уравнения.

$$t=\frac{\sqrt{301}+1}{3} t=\frac{1-\sqrt{301}}{3}$$