Решить 3q^2-19q+16=0

$$3 q ^ { 2 } - 19 q + 16 = 0$$

Найдите q

$$q=1$$

$$q = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} \approx 5,333333333$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 3q^{2}+aq+bq+16. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=-19 ab=3\times 16=48$$

Поскольку ab положительное, a и b имеют одинаковый знак. Так как a+b отрицательный, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары, содержащие 48 продукта.

$$-1,-48 -2,-24 -3,-16 -4,-12 -6,-8$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-48=-49 -2-24=-26 -3-16=-19 -4-12=-16 -6-8=-14$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -19.

$$a=-16 b=-3$$

Перепишите 3q^{2}-19q+16 как \left(3q^{2}-16q\right)+\left(-3q+16\right).

$$\left(3q^{2}-16q\right)+\left(-3q+16\right)$$

Вынесите за скобки q в первой и -1 во второй группе.

$$q\left(3q-16\right)-\left(3q-16\right)$$

Вынесите за скобки общий член 3q-16, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(3q-16\right)\left(q-1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 3q-16=0 и q-1=0.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$3q^{2}-19q+16=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, -19 вместо b и 16 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Возведите -19 в квадрат.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-12\times 16}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на 16.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-192}}{2\times 3}$$

Прибавьте 361 к -192.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

Извлеките квадратный корень из 169.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±13}{2\times 3}$$

Число, противоположное -19, равно 19.

$$q=\frac{19±13}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$q=\frac{19±13}{6}$$

Решите уравнение q=\frac{19±13}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 19 к 13.

$$q=\frac{32}{6}$$

Привести дробь \frac{32}{6} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$q=\frac{16}{3}$$

Решите уравнение q=\frac{19±13}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите 13 из 19.

$$q=\frac{6}{6}$$

Разделите 6 на 6.

$$q=1$$

Уравнение решено.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$3q^{2}-19q+16=0$$

Вычтите 16 из обеих частей уравнения.

$$3q^{2}-19q+16-16=-16$$

Если из 16 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3q^{2}-19q=-16$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3q^{2}-19q}{3}=-\frac{16}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q=-\frac{16}{3}$$

Разделите -\frac{19}{3}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -\frac{19}{6}. Затем добавьте квадрат -\frac{19}{6} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}=-\frac{16}{3}+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{19}{6} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}=-\frac{16}{3}+\frac{361}{36}$$

Прибавьте -\frac{16}{3} к \frac{361}{36}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}=\frac{169}{36}$$

Разложите q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(q-\frac{19}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(q-\frac{19}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Упростите.

$$q-\frac{19}{6}=\frac{13}{6} q-\frac{19}{6}=-\frac{13}{6}$$

Прибавьте \frac{19}{6} к обеим частям уравнения.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$