Решить 3q^2-12q=15

$$3 q ^ { 2 } - 12 q = 15$$

Найдите q

$$q=-1$$

$$q=5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Вычтите 15 из обеих частей уравнения.

$$3q^{2}-12q-15=0$$

Разделите обе части на 3.

$$q^{2}-4q-5=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: q^{2}+aq+bq-5. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-4 ab=1\left(-5\right)=-5$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Единственная такая пара является решением системы.

$$a=-5 b=1$$

Перепишите q^{2}-4q-5 как \left(q^{2}-5q\right)+\left(q-5\right).

$$\left(q^{2}-5q\right)+\left(q-5\right)$$

Вынесите за скобки q в q^{2}-5q.

$$q\left(q-5\right)+q-5$$

Вынесите за скобки общий член q-5, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(q-5\right)\left(q+1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите q-5=0 и q+1=0у.

$$q=5 q=-1$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$3q^{2}-12q=15$$

Вычтите 15 из обеих частей уравнения.

$$3q^{2}-12q-15=15-15$$

Если из 15 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3q^{2}-12q-15=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, -12 вместо b и -15 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$q=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Возведите -12 в квадрат.

$$q=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$q=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на -15.

$$q=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+180}}{2\times 3}$$

Прибавьте 144 к 180.

$$q=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{324}}{2\times 3}$$

Извлеките квадратный корень из 324.

$$q=\frac{-\left(-12\right)±18}{2\times 3}$$

Число, противоположное -12, равно 12.

$$q=\frac{12±18}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$q=\frac{12±18}{6}$$

Решите уравнение q=\frac{12±18}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 12 к 18.

$$q=\frac{30}{6}$$

Разделите 30 на 6.

$$q=5$$

Решите уравнение q=\frac{12±18}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите 18 из 12.

$$q=-\frac{6}{6}$$

Разделите -6 на 6.

$$q=-1$$

Уравнение решено.

$$q=5 q=-1$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$3q^{2}-12q=15$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3q^{2}-12q}{3}=\frac{15}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$q^{2}+\left(-\frac{12}{3}\right)q=\frac{15}{3}$$

Разделите -12 на 3.

$$q^{2}-4q=\frac{15}{3}$$

Разделите 15 на 3.

$$q^{2}-4q=5$$

Деление -4, коэффициент x термина, 2 для получения -2. Затем добавьте квадрат -2 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$q^{2}-4q+\left(-2\right)^{2}=5+\left(-2\right)^{2}$$

Возведите -2 в квадрат.

$$q^{2}-4q+4=5+4$$

Прибавьте 5 к 4.

$$q^{2}-4q+4=9$$

Коэффициент q^{2}-4q+4. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(q-2\right)^{2}=9$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(q-2\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Упростите.

$$q-2=3 q-2=-3$$

Прибавьте 2 к обеим частям уравнения.

$$q=5 q=-1$$