Решить 3p^2-8p+5=0

$$3 p ^ { 2 } - 8 p + 5 = 0$$

Найдите p

$$p=1$$

$$p = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 3p^{2}+ap+bp+5. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-8 ab=3\times 5=15$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 15.

$$-1,-15 -3,-5$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -8.

$$a=-5 b=-3$$

Перепишите 3p^{2}-8p+5 как \left(3p^{2}-5p\right)+\left(-3p+5\right).

$$\left(3p^{2}-5p\right)+\left(-3p+5\right)$$

Разложите p в первом и -1 в второй группе.

$$p\left(3p-5\right)-\left(3p-5\right)$$

Вынесите за скобки общий член 3p-5, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(3p-5\right)\left(p-1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 3p-5=0 и p-1=0у.

$$p=\frac{5}{3} p=1$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$3p^{2}-8p+5=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, -8 вместо b и 5 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Возведите -8 в квадрат.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\times 5}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на 5.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60}}{2\times 3}$$

Прибавьте 64 к -60.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

Извлеките квадратный корень из 4.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±2}{2\times 3}$$

Число, противоположное -8, равно 8.

$$p=\frac{8±2}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$p=\frac{8±2}{6}$$

Решите уравнение p=\frac{8±2}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 8 к 2.

$$p=\frac{10}{6}$$

Привести дробь \frac{10}{6} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$p=\frac{5}{3}$$

Решите уравнение p=\frac{8±2}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите 2 из 8.

$$p=\frac{6}{6}$$

Разделите 6 на 6.

$$p=1$$

Уравнение решено.

$$p=\frac{5}{3} p=1$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$3p^{2}-8p+5=0$$

Вычтите 5 из обеих частей уравнения.

$$3p^{2}-8p+5-5=-5$$

Если из 5 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3p^{2}-8p=-5$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3p^{2}-8p}{3}=-\frac{5}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p=-\frac{5}{3}$$

Деление -\frac{8}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{4}{3}. Затем добавьте квадрат -\frac{4}{3} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{3}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{4}{3} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}=-\frac{5}{3}+\frac{16}{9}$$

Прибавьте -\frac{5}{3} к \frac{16}{9}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}=\frac{1}{9}$$

Коэффициент p^{2}-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(p-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Упростите.

$$p-\frac{4}{3}=\frac{1}{3} p-\frac{4}{3}=-\frac{1}{3}$$

Прибавьте \frac{4}{3} к обеим частям уравнения.

$$p=\frac{5}{3} p=1$$