Решить 3n^2-4n-15=0

$$3 n ^ { 2 } - 4 n - 15 = 0$$

Найдите n

$$n = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$n=3$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 3n^{2}+an+bn-15. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=-4 ab=3\left(-15\right)=-45$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары, содержащие -45 продукта.

$$1,-45 3,-15 5,-9$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-45=-44 3-15=-12 5-9=-4$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -4.

$$a=-9 b=5$$

Перепишите 3n^{2}-4n-15 как \left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right).

$$\left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right)$$

Вынесите за скобки 3n в первой и 5 во второй группе.

$$3n\left(n-3\right)+5\left(n-3\right)$$

Вынесите за скобки общий член n-3, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(n-3\right)\left(3n+5\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите n-3=0 и 3n+5=0.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, -4 вместо b и -15 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Возведите -4 в квадрат.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на -15.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+180}}{2\times 3}$$

Прибавьте 16 к 180.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Извлеките квадратный корень из 196.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±14}{2\times 3}$$

Число, противоположное -4, равно 4.

$$n=\frac{4±14}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$n=\frac{4±14}{6}$$

Решите уравнение n=\frac{4±14}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 4 к 14.

$$n=\frac{18}{6}$$

Разделите 18 на 6.

$$n=3$$

Решите уравнение n=\frac{4±14}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите 14 из 4.

$$n=-\frac{10}{6}$$

Привести дробь \frac{-10}{6} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$n=-\frac{5}{3}$$

Уравнение решено.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Прибавьте 15 к обеим частям уравнения.

$$3n^{2}-4n-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Если из -15 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3n^{2}-4n=-\left(-15\right)$$

Вычтите -15 из 0.

$$3n^{2}-4n=15$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3n^{2}-4n}{3}=\frac{15}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=\frac{15}{3}$$

Разделите 15 на 3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=5$$

Разделите -\frac{4}{3}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -\frac{2}{3}. Затем добавьте квадрат -\frac{2}{3} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{2}{3} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

Прибавьте 5 к \frac{4}{9}.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

Разложите n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Упростите.

$$n-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} n-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

Прибавьте \frac{2}{3} к обеим частям уравнения.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$